Вікіпедія

Ззірчення: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
мНемає опису редагування
стиль, оформлення
Рядок 1:
[[Файл:Academ_Stellated_dodecagon.svg|міні|Побудова ззіріченогоззірченого [[дванадцятикутник]]<nowiki/>а: [[Правильний многокутник|правильного многокутник]]<nowiki/>а з [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]]  {12/5}.]]
В геометрії, '''ззірченням ''' називають процес продовження [[многокутник|многокутника]] (у двовимірному [[Простір|просторі]]), [[многогранник]]а в тривимірному просторі, чи, взагалі, [[політоп]]а ув ''n-''вимірному просторі для формування нової фігури. Починаючи з початкової фігури, процес розтягує певні елементи, такі як ребра чи [[Грань (геометрія)|грані]], зазвичай симетрично, поки вони перетнуться знову щоб замкнути межі нової фігури. Нова фігуєфігура називається ззірченням початкової фігури.
 
== Означення Кеплера ==
У 1619 році [[Кеплер]] визначив ззірчення многокутників і багатогранників, як процес продовження ребер чи граней аж до їхнього перетину і утворення нового многокутника чи багатогранника. 
 
Він ззірчив правильний [[додекаедр]] і отримав два правильні зіровізіркові многогранники, малий ззірчений додекаедр і великий ззірчений додекаедр.
 
Він також ззірчив правильний [[октаедр]], щоб отримати ззірчений октагедрон, звичайне з'єднання двох тетраедрів.
Рядок 16:
Якщо ''n'' і ''т'' мають спільний дільник, то така фігура є правильним з'єднанням. Наприклад {6/2} є правильним з'єднанням двох трикутників {3} або [[Гексаграма|гексаграм]]<nowiki/>ою, в той час як {10/4} - з'єднання двох пентаграм {5/2}.
 
Деякі автори використовують символ Шлефлі для таких правильниїправильних з'єднань. Інші розглядають символ, що вказує поєдинчий шлях, що намотується ''m'' разів на n''/m'' вершин так, що одне ребро перетинає інше, і через кожну вершину проходять ''m'' разів. У цьому випадку може використовуватись видозмінений символ для з'єднанньєднань, наприклад, 2{3} для гексаграми і 2{5/2} для правильного з'єднання двох пентаграм.
 
Звичайний n-кутник має (''n''-4)/2 ззірчень, якщо ''n'' парне і (''n''-3)/2 ззірчень, якщо ''n'' непарне.
Рядок 33:
{7/2}, {7/3}
|}
Як і семикутник [[восьмикутник]] теж має двідва [[Октаграма|октаґраматичні]] ззірчення, одне, {8/3} є зірчастий многокутник, а інший, {8/2} є з'єднанням двох [[Квадрат|квадратів]].
 
== Ззірчення многогранників ==
Рядок 47:
Многогранник ззірчується продовженням ребер чи граней багатогранника, до їх перетину і утворення нового багатогранника або з'єднання. Внутрішність нового багатогранника, ділиться гранями на певне число комірок. Торцеві площини багатогранника можуть ділити простір на безліч таких комірок, і з продовженням ззірчення будуть відсікатися більше таких комірок. Для симетричних багатогранників, ці комірки поділяться на групи, або множини, конгруентних комірок - кажуть, що комірки в таких конгруентних множинах такого самого типу. Загальний метод знаходження ззірчень передбачає вибір одного чи кількох типів комірок.
 
Це може призвести до величезної кількостикількості можливих форм, тому часто застосовують додаткові критерії для  зменшення множини значущих і унікальних ззірчень.
 
Сукупність комірок, що утворюють замкнутий шар навколо ядра називається оболонкою. Для симетричних багатогранників, оболонка може складатися з одного або більше типів комірок.
Рядок 54:
* '''Осьові ззірчення.''' Додавання послідовних оболонок ядра багатогранника призводить до утворення множини осьових ззірчень.
* '''Повністю витримані ззірчення.''' На нижній межі комірок можуть виступати ззовні, ніби "навіси". У повністю витриманих ззірчень немає таких виступів, а також всі видимі частини грані видимі з одного боку.
* '''Одновершинні сузір'ях.''' Дослівно "одно-пікові". Якщо у ззірченні є лиш один вид вістріввістер, або вершин (тобто всі вершини подібні в межах однієї орбіти симетрії), вони називаються одновістряні або одновершинні. Всі такі ззірчення повністю витриманими.
* '''Основні ззірчення.''' Якщо багатогранник має площини дзеркальної симетрії, тоді кажуть, що ребра, що перетинають такі площини лежать на основних лініях. Якщо всі ребра лежать на основних лініях - ззірчення називають основним. Всі основні ззірчення повністю витримані.
* '''Ззірчення Міллера.''' У "П'ятдесят дев'ять ікосаедрів" [[Гарольд Коксетер|Кокстера]], Дю Валь, Флатер і Петрі запис п'ять правил, запропонованих Міллером. Хоч ці правила стосуються тільки ікосаедрової геометрії, вони пристосували їх для довільних многогранників. Вони забезпечують, серед іншого, що обертальна симетрія вихідного багатогранника зберігається і що кожне ззірчення відрізняється своїм виглядом. Чотири типи щойно означених ззірчень є підкласами ззірчень Міллера.
Рядок 60:
* '''Часткове ззірчення''', таке у якому не всі елементи даної вимірності продовжили.
* '''Майже-симетричні ззірчення''' - це ззірчення, де не всі елементи продовжені симетрично.
Архімедові тіла і їх двійники теж можна ззірчити. Тут, як правило, додається правило, що всі вихідні торцеві площини повинні бути присутніми у ззірченіззірченні, тобто не розглядають часткові ззірчення. Наприклад, [[куб]] - як правило, не розглядають як ззірчення кубооктаедра.
 
Узагальненнями правил Міллера є:
* 4 ззірчення ромбічного додекагедрона
* 187 ззірченнь ззірчень тріакісового тетраедра
* 358,833,097 ззірченньззірчень ромбічного триаконтагедрона
* 17 ззірченньззірчень [[Кубооктаедр|кубооктаедра]] (4 показані у Веннінґерових "Моделях Многогранників")
* Невідоме число ззірченньззірчень [[ікосододекаедр]]<nowiki/>а; є 7071671 не хіральних  ззірченньззірчень, але число хіральних ззірченньззірчень невідоме (19 показані в Веннінґерових "Моделях Многогранників")
Сімнадцять неопуклих рівномірних багатогранників є ззірченнями твердих Архімедових тіл.
 
=== Правила Міллера ===
У книзі ''П'ятдесят дев'ятьікасаедрівять ікосаедрів'', Ж. К. П. Міллер запропонував набір правил для визначення які ззірчені фігури слід вважати "справді значимими і окремими".
 
Ці правила були адаптовані для використання з ззірчень багатьох інших многогранників. За правилами Міллера маємо:
* НеіснуєНе існує ззірчень [[Чотиригранник|тетраедр]], позаяк усі його грані суміжні
* НеіснуєНе існує ззірчень [[куб]]<nowiki/>а, тому що несуміжні грані паралельні і, отже, не можуть бути продовжені настільки щоб перетнутись і утворити нові ребра
* Існує в 1 ззірчення [[Октаедр|октаедра]], ззірчений октаедр
* Є 3 ззірчення [[додекаедр]]: в малий ззірчений додекаедр, [[великий додекаедр]] і великий ззірчений додекаедр, всі вони є многогранниками Кеплера-Пуансо.
* Є 58 ззірчень [[Ікосаедр|ікосаедра]], в тому числі і великий ікосаедр (належить до багатогранників Кеплера-Пуансо) і друге і останнє ззірчення ікосаедра. 59-а модель в ''П'ятдесяти дев'яти ікосаедрах'' - це вихідний ікосаедр.
Багато "ззірчень Міллера" не можливо отримати безпосередньо за допомогою методу Кеплера. Наприклад, багато мають порожнисті центри, де вихідні грані й ребреребра основного багатогранника повністю відсутні: немає з чого ззірчувати. З іншого боку, метод Кеплера також утворює ззірчення, які заборонені правилами Міллера, оскільки їхні комірки з'єнанієднані ребрами або вершинами, навіть якщо їх грані окремі многокутники. На цю невідповідність довший час не звертали уваги аж до статті Інчбальда (2002).
 
=== Інші правила ззірчення ===
Правила Міллера ні в якому разі не є "правильним" шляхом обліку ззірчень. Вони засновані на поєднанні певним чином деталей зі діаграм ззірчень і не враховують топологію отриманих граней. Самі по собі існують певні цілком прийнятні ззірчення ікосаедра, які не задовольняють ці правила - одне з них знайшов Джеймс Брідж у 1974 році, тоді як є сумніви щодо деяких "ззірченньззірчень Міллера", чи є вони взагалі ззірченнями - один з набору ікосаедрових включає кілька досить розрізнених комірок, що симетрично рухаються в просторі.
 
Поки альтернативний набір правил, який це враховує ще не були повністю розроблені. Найбільшого прогресу було досягнено опираючись на те, що ззірчення - це обопільний або двоїстий процес гранулювання, причому видаляються частини багатогранника без утворення нових вершин. Для кожного ззірчення деякого багатогранника, існує [[Дуальність|подвійне]] гранулювання  подвійного багатогранника і навпаки. Вивчаючи гранулювання двоїстости, отримуємо знання про ззірчення оригіналу. Брідж знайшов нове ззірчення ікосаедра вивчаючи гранулювання його двоїстости, додекаедра.
Рядок 134:
* [http://www.cacr.caltech.edu/~roy/Stellate/explain.html Stellation: Beautiful Math]
* [http://www.springerlink.com/content/x77818310171522u/fulltext.pdf Further Stellations of the Uniform Polyhedra, John Lawrence Hudson] The Mathematical Intelligencer, Volume 31, Number 4, 2009
 
{{Ізольована стаття}}
[[Категорія:Многокутники]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Ззірчення