Числення висловлень: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м →Див. також: оформлення |
Немає опису редагування |
||
Рядок 41:
== Приклади аксіоматики ==
=== Приклад 1 ===
# Алфавіт (елементи множини <math>\Alpha</math>) числення висловлень складається з елементарних висловлень (пропозиційних змінних): <math>a,b,c,d,\dots,x,y,z</math> (можливо з індексами), логічними операціями є <math>\lor , \land , \lnot , \rightarrow,</math> .
=== Приклад (аксіоми Лукасевича) ===▼
# Поняття формули визначається аналогічно алгебрі висловлень.
## всі пропозиційні змінні та елементарні висловлення є формулами;
## якщо A і B — формули, то вирази (слова) <math>(A\lor B), (A\land B), (\lnot A), (A\rightarrow B)</math> також є формулами;
## інших формул, ніж побудовані за правилами 2.1 і 2.2 немає.
==== Аксіоми ====
В численні висловлень визначають такі схеми [[аксіома|аксіом]]:
# <math>A \rightarrow(B\rightarrow A)</math>
# <math>(A \rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow(B\rightarrow C))\rightarrow (A\rightarrow C))</math>
# <math>(A\land B)\rightarrow A</math>
# <math>(A\land B)\rightarrow B</math>
# <math>(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\land C)))</math>
# <math>A\rightarrow (A\lor B)</math>
# <math>B\rightarrow (A\lor B)</math>
# <math>(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow((A\lor B)\rightarrow C))</math>
# <math>(A\rightarrow \lnot B)\rightarrow (B\rightarrow \lnot A)</math>
# <math>\lnot\lnot A\rightarrow A</math>
Єдиним правилом виводу є:
<math>\frac{A \rightarrow B, A}{B}</math> (''[[Modus ponens]]'')
У даних схемах аксіом та правила виводу символи <math>A,B,C</math> можна заміщувати усіма допустимими формулами, після чого і отримуються конкретні аксіоми.
==== Приклад виведення теореми ====
Користуючись поданими аксіомами і правилом виведення покажемо, що (<math>D\rightarrow D</math>) є теоремою в даній формальній системі для будь-якої формули <math>D</math>.
{| align="center" border="1" cellpadding="6" cellspacing="1" width:100%"
! align="center" colspan="3" | Приклад виводу
|-
! Номер
! Формула
! Спосіб одержання
|-
| 1 || <math>(D \rightarrow (D \rightarrow D))\rightarrow ((D\rightarrow((D \rightarrow D)\rightarrow D))\rightarrow (D\rightarrow D))</math> || Аксіома 2 з заміною <math>A,B,C\,</math> на <math>D,D \rightarrow D, D</math> відповідно
|-
| 2 || <math>(D \rightarrow (D \rightarrow D))</math> || аксіома 1(заміна <math>A,B\,</math> на <math>D\,</math>)
|-
| 3 || <math>((D\rightarrow((D \rightarrow D)\rightarrow D))\rightarrow (D\rightarrow D))</math> || 1, 2 і modus ponens.
|-
| 4 || <math>((D\rightarrow((D \rightarrow D)\rightarrow D))</math> || аксіома 1(заміна <math>A,B\,</math> на <math>D,D \rightarrow D</math> відповідно)
|-
| 5 || <math>D\rightarrow D</math> || 3, 4 і modus ponens.
|}
▲=== Приклад 2 (аксіоми Лукасевича) ===
# Алфавіт (елементи множини <math>\Alpha</math>) числення висловлень складається з елементарних висловлень (пропозиційних змінних): <math>a,b,c,d,\dots,x,y,z</math> (можливо з індексами), логічними операціями є <math>\lnot , \rightarrow,</math> .
# Поняття формули визначається аналогічно алгебрі висловлень.
| |||