Математична фізика: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
на вилучення |
це стаття 2004 року, а робота-джерело 2008го, не факт що порушення ВП:АП тому повертаю версію |
||
Рядок 1:
'''Математична фізика''' — загальна назва математичних методів дослідження і розв'язання диференціальних рівнянь, які виникають, зокрема, в [[фізика|фізиці]]. Теорія [[математична модель|математичних моделей]] фізичних явищ; займає особливе положення і у [[математика|математиці]], і у [[фізика|фізиці]], перебуваючи на стику цих наук. Математична [[фізика]] тісно зв'язана з [[фізика|фізикою]] в тій частині, яка стосується побудови [[Математична модель|математичної моделі]], і водночас математична [[фізика]] - розділ [[математика|математики]], оскільки методи дослідження моделей є математичними. У поняття методів математичної [[фізик]]и включаються ті математичні [[метод]]и, які застосовуються для побудови і вивчення математичних моделей, що описують великі класи фізичних явищ.
== Історія ==
Методи математичної фізики як теорії математичних моделей фізики почали в кінці [[XVII]] ст. інтенсивно розроблятися в працях [[Ньютон Ісаак|Ісаака Ньютона]] зі створення основ [[класична механіка|класичної механіки]], [[всесвітнього тяжіння закон|всесвітнього тяжіння]], теорії світла. Подальший розвиток ([[XVIII]] - I-а пол. XIX ст.) методів математичної фізики і їх успішне застосування до вивчення математичних моделей величезного обсягу різних фізичних явищ зв'язані з іменами [[Лагранж Жозеф Луї|Жозефа Луї Лагранжа]], [[Ейлер Леонард|Леонадра Ейлера]], [[Лаплас П'єр Симон|П'єра Симона Лапласа]], [[Фур'є Жан Батист Жозеф|Жозефа Фур’є]], [[Гаус Карл Фрідріх|Карла Гауса]], [[Ріман Бернгард|Бернгарда Рімана]], [[Остроградський Михайло Васильович|М. В. Остроградського]] та інших учених. Великий внесок до розвитку методів математичної фізики внесли [[Ляпунов Олександр Михайлович|О. М. Ляпунов]] і [[Стєклов Володимир Андрійович|В. А. Стєклов]]. З II-ї половини [[XIX]] ст. методи математичної фізики успішно використовувалися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, зв'язаних з різними [[поле (фізика)|фізичними полями]] і [[хвильова функція|хвильовими функціями]] в [[електродинаміка|електродинаміці]], [[акустика|акустиці]], [[теорія пружності|теорії пружності]], [[гідродинаміка|гідро-]] й [[аеродинаміка|аеродинаміці]] та інших напрямках дослідження фізичних явищ у [[суцільне середовище|суцільних середовищах]].
Математичні моделі цього класу явищ найбільш часто описуються за допомогою [[диференційне рівняння|диференційних рівнянь]] з частинними похідними, що одержали назву [[рівняння математичної фізики]]. Крім диференційних рівнянь математичної фізики, при описі математичних моделей фізики застосовуються [[інтегральне рівняння|інтегральні рівняння]] та [[інтегро-диференціальне рівняння|інтегро-диференціальні рівняння]], [[варіаційні методи|варіаційні]] та [[імовірнісні методи|теоретико-ймовірнісні методи]], [[теорія потенціалу]], методи [[теорія функцій комплексної змінної|теорії функцій комплексної змінної]] і низка інших розділів [[математика|математики]]. У зв'язку з бурхливим розвитком [[обчислювальна математика|обчислювальної математики]] особливе значення для дослідження, математичних моделей фізики здобувають прямі [[чисельні методи]], що вони використовують [[комп'ютер]]и, і в першу чергу [[скінченно-різницевий метод|скінченно-різницеві методи]] розв’язування [[крайова задача|крайових задач]], що дозволило методами математичної фізики ефективно розв'язувати нові задачі [[газова динаміка|газової динаміки]], [[теорія переносу|теорії переносу]], [[фізика плазми|фізики плазми]], у тому числі й [[зворотна задача|зворотні задачі]] цих напрямків фізичних досліджень.
== Методи ==
Теоретичні дослідження в області [[квантова фізика|квантової фізики]] і [[теорія відносності|теорії відносності]], широке застосування комп’ютерів у різних областях математичної фізики, включаючи і [[некоректні задачі|зворотні (некоректно поставлені) задачі]], викликали значне розширення використовуваного математичною фізикою арсеналу математичних методів. Поряд із традиційними розділами [[математика|математики]] стали широко застосовуватися [[теорія операторів]], [[теорія узагальнених функцій]], [[теорія функцій багатьох комплексних змінних]], [[топологія|топологічні]] і [[алгебра]]їчні методи. Це інтенсивна взаємодія теоретичної [[фізика|фізики]], [[математика|математики]] і використання комп’ютерів у наукових дослідженнях призвело до значного розширення тематики, створення нових класів моделей і піднесло на новий рівень сучасну математичну фізику.
Постановка задач математичної фізики полягає в побудові [[математична модель|математичних моделей]], що описують основні закономірності досліджуваного класу фізичних явищ. Така постановка полягає у виводі рівнянь ([[диференціальне рівняння|диференціальних]], [[інтегральне рівняння|інтегральних]], інтеґро-диференціальних або [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчних]]), яким задовольняють величини, що характеризують фізичний процес. При цьому виходять з основних [[фізичний закон|фізичних законів]], що враховують тільки найістотніші риси явища, відволікаючись від низки його другорядних характеристик. Такими законами є звичайно [[закони збереження]], наприклад кількості руху, енергії, числа часток. Це призводить до того, що для опису процесів різної фізичної природи, які проте мають загальні характерні риси, виявляється можна застосувати ті ж [[математична модель|математичні моделі]]. Наприклад, математичні задачі для найпростішого [[Диференціальне рівняння гіперболічного типу|рівняння гіперболічного типу]]
:<math>\frac{\partial ^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}</math>,
отриманого [[Жан д'Аламбер|Жаном д’Аламбером]] ([[1747]]) для опису вільних [[коливання|коливань]] однорідної струни, виявляються придатними і для опису широкого кола хвильових процесів [[акустика|акустики]], [[гідродинаміка|гідродинаміки]], [[електродинаміка|електродинаміки]] та ін. областей [[фізика|фізики]]. Аналогічно, рівняння
:<math>\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 u}{\partial z^2} = 0</math>,
[[крайові задачі]] для якого спочатку вивчалися [[Лаплас П’єр Симон|П'єр Симон Лапласом]] (кінець [[XVIII]] ст.) у зв'язку з побудовою [[теорія тяжіння|теорії тяжіння]], надалі знайшло застосування при розв’язуванні багатьох проблем [[електростатика|електростатики]], [[теорія пружності|теорії пружності]], задач сталого руху [[ідеальна рідина|ідеальної рідини]] тощо. Кожній [[математична модель|математичній моделі]] фізики відповідає цілий клас фізичних процесів.
Для математичної фізики характерно також те, що багато загальних методів, які можна використати для розв’язування задач математичної фізики, розвилися з частинних способів розв’язування конкретних фізичних задач і у своєму первісному вигляді не мали строгого математичного обґрунтування і достатньої довершеності. Це відноситься до таких відомих методів розв’язування задач математичної фізики, як [[метод Рітца|методи Рітца]] й [[метод Гальоркіна|Гальоркіна]], до методів [[теорія збурень|теорії збурень]], [[перетворення Фур’є|перетворень Фур'є]] і багатьох інших, включаючи [[метод розділення змінних]]. Ефективне застосування всіх цих методів для розв’язування конкретних задач стало одним зі стимулів для їх строгого математичного обґрунтування й узагальнення, що призводить у деяких випадках до виникнення нових математичних напрямів.
Вплив математичної фізики на різні розділи [[математика|математики]] виявляється й у тому, що розвиток математичної фізики, що відбиває вимоги [[Природознавство|природничих наук]] і запити практики, спричиняє переорієнтацію спрямованості досліджень у деяких вже сформованих розділах [[математика|математики]]. Постановка задач математичної фізики, зв'язана з розробкою математичних моделей реальних фізичних явищ, призвела до зміни основної проблематики [[теорія диференціальних рівнянь|теорії диференціальних рівнянь]] у частинних похідних. Виникла [[теорія крайових задач]], що дозволила згодом зв'язати [[диференціальне рівняння]] у частинних похідних, з [[інтегральне рівняння|інтегральними рівняннями]] і [[варіаційний метод|варіаційними методами]].
Вивчення математичних моделей фізики математичними методами не тільки дозволяє дослідити кількісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реальних процесів, а й надає можливість глибокого проникнення до самої суті фізичних явищ, виявлення схованих закономірностей, передбачення нових ефектів. Прагнення до детальнішого вивчення фізичних явищ призводить до усе більшого ускладнення математичних моделей, які описують ці явища, що, своєю чергою, унеможливлює застосування аналітичних методів дослідження цих моделей. Це пояснюється, зокрема, тим, що математичні моделі реальних фізичних процесів є, як правило, нелінійними, тобто описуються [[нелінійні рівняння|нелінійними рівняннями]] математичної фізики Для детального дослідження таких моделей успішно застосовуються прямі [[чисельні методи]] з використанням [[комп’ютер]]ів. Для типових задач математичної фізики використання чисельних методів зводиться до заміни [[рівняння математичної фізики|рівнянь математичної фізики]] для функцій неперервного аргументу [[алгебраїчне рівняння|алгебраїчними рівняннями]] для [[сіткова функція|сіткових функцій]], заданих на дискретній [[множина|множині]] точок (на сітці). Іншими словами, замість неперервної моделі середовища вводиться її [[дискретна модель|дискретний аналог]]. Застосування [[чисельні методи|чисельних методів]] у ряді випадків дозволяє замінити складний, трудомісткий і вартісний [[фізичний експеримент]] значно економічнішим математичним (чисельним) експериментом. Досить повно проведений [[математичний експеримент]] є основою для вибору оптимальних умов реального фізичного експерименту, вибору параметрів складних фізичних приборів, визначення умов виявлення нових фізичних ефектів тощо. У такий спосіб чисельні методи надзвичайно розширюють область ефективного використання математичних моделей фізичних явищ. [[Математична модель]] фізичного явища, як усяка модель, не може передати всіх рис явища. Встановити адекватність прийнятої моделі досліджуваному явищу можна тільки за допомогою критерію практики, зіставляючи результати теоретичних досліджень прийнятої моделі з даними експериментів.
У багатьох випадках про адекватність прийнятої моделі можна судити на підставі розв’язування [[обернена задача|обернених задач]] математичної фізики, коли про властивості досліджуваних явищ природи, недоступних для безпосереднього спостереження, робляться висновки за результатами їх непрямих фізичних проявів. Для математичної фізики характерно прагнення будувати такі [[математична модель|математичні моделі]], які не лише дають опис і пояснення вже встановлених фізичних закономірностей досліджуваного кола явищ, а й дозволяють передбачити ще не встановлені закономірності. Класичним прикладом такої моделі є [[теорія всесвітнього тяжіння]] [[Ньютон Ісаак|Ньютона]], що дозволила не лише пояснити рух відомих до моменту її створення тіл [[Сонячна система|Сонячної системи]], але і передбачити існування нових [[планета|планет]]. З іншого боку, нові експериментальні дані не завжди можуть бути пояснені в рамках прийнятої моделі. Для їхнього пояснення потрібне ускладнення моделі.
== Література ==
| |||