Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями

'''Теорема Бо́рсука - — У́лама''' стверджує, що кожна неперервна функція із ''n''-сфери в [[Евклідів простір|евклідів ''n''-простір]] відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована [[Станіслав Улам|Станіславом Уламом]], а в [[1933]] році вона була доведена [[Кароль Борсук|Каролем Борсуком]].

Якщо задана [[неперервна функція|неперервна]] [[функція (математика)|функція]] <math>f:S^n \to \mathbb{R}^n</math>, де <math>S^n</math> -&nbsp;— [[сфера]] в <math>(n+1)</math>-мірному [[Лінійний простір|лінійному просторі]], то існують такі дві діаметрально протилежні точки <math>a, b \in S</math>, що <math>f(a)=f(b)</math>.

З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. Це припускає, що [[температура|температура]] і [[атмосферний тиск|атмосферний тиск]] безперервно змінюються. Для випадку ж, коли ''n = 1'', випливає: на земному [[екватор|екваторі]]і завжди існує пара протилежних точок із тією самою [[температура|температурою]] повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи [[Теорема Больцано-Коші|Теорему Больцано-Коші]].

* З теореми Борсука &nbsp;— Улама випливає [[теорема Брауера про нерухому точку]].

* Теорема Люстерника &nbsp;— Шнірельмана: Якщо <math>S^n</math> покривається ''n''&nbsp;+&nbsp;1 [[відкрита множина|відкритою множиною]], тоді одна з цих пар містить (''x'',&nbsp;−''x'') &nbsp;— діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука &nbsp;— Улама)

* ''K. Borsuk'' Drei Sätze über die ''n''-dimensionale euklidische Sphäre &nbsp;— Fund. Math., '''20''' (1933), с. 177—190177–190.

* ''Jiří Matoušek'' Using the Borsuk-Ulam theorem &nbsp;— Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.

* ''L. Lyusternik and S. Shnirel’manShnirel'man'' Topological Methods in Variational Problems. &nbsp;— М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.

* [http://www.youtube.com/watch?v=_sA3c0AhK34 Borsuk-Ulam Theorem -&nbsp;— Explained by a Youtube Nerd (відео, eng.)]

[[Категорія:Теореми|Борсука &nbsp;— Улама]]