Вікіпедія

Криволінійний інтеграл: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[неперевірена версія][неперевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Addbot (обговорення | внесок)
Боти
140 524 редагування
м Вилучення 27 інтервікі, відтепер доступних на Вікіданих: d:q467699
оформлення, шаблон
Рядок 1:
{{Calculus}}
Узагальненням [[визначений інтеграл|визначеного інтеграла]] на випадок, коли [[область інтегрування|областю інтегрування]] є деяка [[крива]], буде так званий '''криволіні́йний інтегра́л'''.
 
== Криволінійний інтеграл І роду ==
Основна стаття&nbsp;— [[{{main|Криволінійний інтеграл І роду]]<br /><br />}}
Нехай на площині ''Oxy'' задана неперервна крива ''AB'' довжини ''l''. Роздивимось неперервну функцію ''f(x;y)'', задану в точках дуги ''AB''. Розіб'ємо криву ''AB'' точками ''M<sub>0</sub>=A, M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>,…, M<sub>n</sub>=B'' на ''n'' довільних дуг ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' з довжинами відповідно ''Δl<sub>i</sub> (i=1; 2;…; n)''.
Виберемо на кожній дузі ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' довільну точку ''(x<sub>i</sub>; y<sub>i</sub>)'' і складемо суму
: <br /><math>\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i</math>.<br />
Її називають ''інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій AB.''
Нехай <math>\lambda=max \Delta l_i, 1 \le i \le n</math>&nbsp;— найбільша із довжин дуг поділу. Якщо <math>\lambda \rightarrow 0 </math> (<math>n \rightarrow \infty </math>) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають ''криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB'', або ''криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB'' і позначають<br />▼
<math>\int _{AB} f(x; y)\, dl</math> або <math>\int _{L} f(x; y)\, dl</math>.<br />▼
Таким чином, за означенням<br />▼
<math>\int _{AB} f(x; y)\, dl=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i</math>.▼
 
▲Нехай <math>\lambda=max \Delta l_i, 1 \le i \le n</math>&nbsp;— найбільша із довжин дуг поділу. Якщо <math>\lambda \rightarrow 0 </math> (<math>n \rightarrow \infty </math>) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають ''криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої AB'', або ''криволінійним інтегралом І роду від функції f(x;y) по кривій AB'' і позначають<br />
== Криволінійний інтеграл ІІ роду ==▼
▲: <math>\int _{AB} f(x; y)\, dl</math> або <math>\int _{L} f(x; y)\, dl</math>.<br />
Основна стаття&nbsp;— [[Криволінійний інтеграл ІІ роду]]<br /><br />▼
 
▲Таким чином, за означенням<br />
▲: <math>\int _{AB} f(x; y)\, dl=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n f(x_i; y_i)\Delta l_i</math>.
 
▲== Криволінійний інтеграл ІІ роду ==
▲Основна стаття&nbsp;— [[{{main|Криволінійний інтеграл ІІ роду]]<br /><br />}}
Нехай на площині ''Oxy'' задана неперервна крива ''AB'' довжини і функція ''P(x;y)'', визначена в кожній точці кривої. Розіб'ємо криву ''AB'' точками ''M<sub>0</sub>=A, M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>,…, M<sub>n</sub>=B'' в напрямі від точки A до точки B на ''n'' довільних дуг ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' з довжинами відповідно ''Δl<sub>i</sub> (i=1; 2;…; n)''.
Виберемо на кожній ''елементарній дузі'' ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' довільну точку ''(x<sub>i</sub>; y<sub>i</sub>)'' і складемо суму
: <br /><math>\sum_{i=1}^n P(x_i; y_i)\Delta x_i</math>,<br />
де <math>\Delta x_i - x_{i-1}</math>&nbsp;— проекція дуги ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' на вісь ''Ox''.
Таку суму називають ''інтегральною сумою для функції P(x;y) по змінній x.''
 
Нехай <math>\lambda=\max \Delta l_i, 1 \le i \le n</math>&nbsp;— найбільша із довжин дуг поділу. Якщо <math>\lambda \rightarrow 0 </math> (<math>n \rightarrow \infty </math>) і існує скінченна границя інтегральних сум, що не залежить від способу розбиття кривої ''AB'' і вибору точок (x<sub>i</sub>;y<sub>i</sub>), то її називають ''криволінійним інтегралом по координаті x (або II роду) від функції P(x;y) по кривій AB'' і позначають<br />
: <math>\int _{AB} P(x; y)\, dl</math> або <math>\int _{L} P(x; y)\, dl</math>.<br />
Таким чином, за означенням<br />▼
 
<math>\int _{AB} P(x; y)\, dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n P(x_i; y_i)\Delta x_i</math>.<br />▼
▲Таким чином, за означенням<br />
Аналогічно виводиться інтеграл від функції ''Q(x;y)'' по координаті y:<br />▼
: <math>\int _{AB} QP(x; y)\, dydx=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n QP(x_i; y_i)\Delta y_ix_i</math>,<br /> де <math>\Delta y_i</math>&nbsp;— проекція дуги ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' на вісь ''Oy''.<br />
 
Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:<br />▼
▲Аналогічно виводиться інтеграл від функції ''Q(x;y)'' по координаті y:<br />
<math>\int _{AB}P(x; y)\, dx + Q(x; y)\, dy=\int _{AB}P(x; y)\, dx+\int _{AB}Q(x; y)\, dy</math><br />▼
▲: <math>\int _{AB} PQ(x; y)\, dxdy=\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n PQ(x_i; y_i)\Delta x_iy_i</math>.<br />,
Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:<br />▼
де <math>\Delta y_i</math>&nbsp;— проекція дуги ''M<sub>i-1</sub>M<sub>i</sub>'' на вісь ''Oy''.
<math>\int _{AB}P(x; y; z)\, dx + Q(x; y; z)\, dy + R(x; y; z)\, dz</math><br />▼
 
▲Криволінійний інтеграл ІІ роду в загальному вигляді на площині:<br />
▲: <math>\int _{AB}P(x; y)\, dx + Q(x; y)\, dy=\int _{AB}P(x; y)\, dx+\int _{AB}Q(x; y)\, dy</math><br />
▲Криволінійний інтеграл ІІ роду по кривій в тривимірному просторі визначається аналогічно:<br />
▲: <math>\int _{AB}P(x; y; z)\, dx + Q(x; y; z)\, dy + R(x; y; z)\, dz</math><br />
 
{{Без джерел|дата=березень 2011}}
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Криволінійний_інтеграл