Кривина Гауса: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
мНемає опису редагування |
мНемає опису редагування |
||
Рядок 78:
Скористаємося наступним вираженням тензора Рімана через тензор повної кривини (дивіться статтю [[Гіперповерхня]]):
: <math>(21) \qquad R^{kl}_{ij} = b^k_i b^l_j - b^k_j b^l_i</math>
і почнемо в формулі (10) групувати співмножники по два, наприклад починаючи з перших двох (тут ми вважаємо, що степінь <math>2 m</math> кривини Ґаусса не менша двох (<math>m \ge
: <math>(22) \qquad (2 m)! K = g^{i j \dots}_{k l \dots} b^k_i b^l_j \cdots = - g^{j i \dots}_{k l \dots} b^k_i b^l_j \cdots</math>
Останнє перетворення справедливе внаслідок антисиметрії тензора метричної матрьошки щодо індексів в верхній групі. Далі, в останньому виразі поміняємо місцями індекси <math>i, j</math>:
: <math>(23) \qquad (2 m)! K = - g^{i j \dots}_{k l \dots} b^k_j b^l_i \cdots</math>
Тепер додамо рівняння (22) і (23), при цьому врахувавши (21). Одержуємо, знову перепозначивши індекси:
: <math>(24) \qquad 2 (2 m)! K^{[2 m]} = g^{i_1 j_1 i_2 j_2 \dots i_m j_m}_{k_1 l_1 k_2 l_2 \dots k_m l_m} R^{k_1 l_1}_{i_1 j_1} b^{k_2}_{i_2} \cdots b^{k_m}_{i_m} b^{l_m}_{j_m} </math>
Множник 2 в лівій частині рівняння (24) зявився внаслідок групування двох множників <math>b^{k_1}_{i_1} b^{l_1}_{j_1}</math>. Очевидно, ми можемо аналогічним чином згрупувати попарно і решту співмножників, тоді в лівій частині ми одержимо множник <math>2^m</math>, а в правій - вираз, в якому бере участь тільки тензор Рімана і тензор метричної матрьошки, тобто ми одержимо формулу (20).
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
| |||