Тавтологія (логіка): відмінності між версіями

Розглянемо відомевідомий з пісні вислів: «У хокей грають справжні чоловіки, (отже) Трус не грає в хокей».

Існує загальний порядок, правило підстановки, що дозволяє додатковододатковій тавтології будебути побудованийпобудованою з даної тавтології (Кліні 1967). Припустимо, що S є тавтологією і для кожного з висловлювань змінної А в S фіксованоїфіксовану, вирок SA вибраний. Тоді вирок, виходитьякий є заміною кожної змінної A в S з відповідним вироком SA також тавтологіяє тавтологією.

Наприклад, нехай S буде <math>(A \land B) \lor (\lnot A) \lor (\lnot B)</math> , Тавтологіятавтологія. Нехай SA буде <math>C \lor D</math> і нехай SB бутибуде <math>C \to E</math>. Це випливає зЗ правила підстановки випливає, що пропозиції <math>((C \lor D) \land (C \to E)) \lor (\lnot (C \lor D) )\lor (\lnot (C \to E))</math> є тавтологією.

Принципове визначення тавтології в контексті логіки висловлювань. Визначення може бути продовженийпродовженим, однак,тільки в пропозиції в логіцілогіки першого порядку (див Enderton (2002, стор. 114) і Кліні (1967)). Ці пропозиції можуть містити квантори, на відміну від пропозицій логіки висловлювань. В контексті логіки першого порядку, розходження зберігається між логічними законами пропозицій, істинних в кожній моделі, і тавтологіїтавтологіями, які власне підмножинає підмножиною логічних термінитермінів дії першого порядку,зберігається. В контексті логіки висловлювань, ці два терміни збігаються.

Тавтологія в логіці першого порядку є [[вирок]], який може бути отриманий шляхом прийняття тавтологіютавтологією [[Логіка висловлювань|логіки]] висловлювань і рівномірно замінюючи коженкожну пропозіціональнаяпропозіціональні змінназмінні по формулі першого порядку (одинодна формулиформула в пропозициональнойпропозициональній змінноїзмінній). Наприклад, томуТому <math>A \lor \lnot A </math> є тавтологією логіки висловлювань, а<math> (\forall x ( x = x)) \lor (\lnot \forall x (x = x))</math> тавтологіятавтологією в логіці першого порядку. Точно так же, на мові першого порядку з одноміснимодномісними символівсимволами відносин R, S, T, наступнунаступна пропозиціюпропозиція є тавтологією: <math>(((\exists x Rx) \land \lnot (\exists x Sx)) \to \forall x Tx) \Leftrightarrow ((\exists x Rx) \to ((\lnot \exists x Sx) \to \forall x Tx)).</math> ЙогоЇї отримують шляхом заміни <math>A</math> з <math> \exists x Rx, B</math>, з <math> \lnot \exists x Sx</math> та <math>C</math> з <math>\forall x Tx</math> в висловлюваньвисловлювання тавтології <math>((A \land B) \to C) \Leftrightarrow (A \to (B \to C)).</math>

<nowiki> </nowiki>Не всі логічні терміни дії є тавтологіїтавтологіями в логіці першого порядку. Наприклад, фраза

Правда, в якийякій-небудь інтерпретації першого порядку, але це відповідає висловлюваньвисловлюванням вироку <math> A \to B</math> який не є тавтологією логіки висловлювань.