Відмінності між версіями «Гіперповерхня»

3370 байтів додано ,  11 років тому
нема опису редагування
В системі координат, яка в точці <math>P</math> гіперповерхні має координатні вектори <math>\mathbf{r}_i</math> що співпадають з головними напрямками, матриця тензора повної кривини <math>b_{ij} = b_i^j</math> буде діагональною:
: <math>(18) \qquad B = (b_{ij}) = \begin{bmatrix} k^{(1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & k^{(2)} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \ddots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & k^{(n)} \end{bmatrix}</math>
Те ж саме можна записати в тензорних позначеннях:
: <math>(19) \qquad b_{ij} = k^{(i)} \delta_{ij}</math>
в цій формулі додавання по індексу <math>i</math> не проводиться.
 
Запишемо спектральний розклад тензора <math>b_{ij}</math>, користуючись власними числами і векторами. В довільній системі координат маємо:
: <math>(20) \qquad b_{ij} = \sum_{s} k^{(s)} \tau^{(s)}_i \tau^{(s)}_j</math>
 
== Рівняння Петерсона-Кодацці ==
 
Розглянемо дію комутатора коваріантних похідних на координатні вектори:
: <math>(1921) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = - R^s_{\,ijk} \mathbf{r}_s</math>
Цей комутатор ми можемо записати через тензор повної кривини:
: <math>(2022) \qquad [\nabla_j \nabla_k] \mathbf{r}_i = \nabla_j (\nabla_k \mathbf{r}_i) - \nabla_k (\nabla_j \mathbf{r}_i) = \nabla_j \mathbf{b}_{ki} - \nabla_k \mathbf{b}_{ji} = </math>
: <math>\qquad = (\nabla_j \mathbf{n}) b_{ki} + \mathbf{n} \nabla_j b_{ki} - (\nabla_k \mathbf{n}) b_{ji} - \mathbf{n} \nabla_k b_{ji} = -(b^s_j b_{ki} - b^s_k b_{ji}) \mathbf{r}_s + \mathbf{n} (\nabla_j b_{ki} - \nabla_k b_{ji})</math>
Порівнюючи формули (1921) і (2022) знаходимо:
: <math>(2123) \qquad R^s_{\,ijk} = b^s_j b_{ki} - b^s_k b_{ji}, \qquad R_{ijkl} = b_{ik} bb_{jl} - bb_{il} bb_{jk}</math>
: <math>(2224) \qquad \nabla_j b_{ki} = \nabla_k b_{ji}</math>
Рівняння (2224) називається рівнянням Петерсона-Кодацці. Цю рівність можна трактувати таким чином: коваріантна похідна тензора повної кривини для гіперповерхні є симетричним тензором з трьома індексами:
: <math>(25) \qquad \nabla_i b_{jk} = b_{ijk}</math>
 
== Тензор внутрішньої кривини ==
 
Підставимо в формулу (23) спектральний розклад (20). Знаходимо тензор Рімана:
: <math>(26) \qquad R_{ijkl} = b_{ik} b_{jl} - b_{il} b_{jk} = \sum_{p,s} \left ( k^{(p)} \tau^{(p)}_i \tau^{(p)}_k k{(s)} \tau^{(s)}_j \tau^{(s)}_l - k^{(p)} \tau^{(p)}_i \tau^{(p)}_l k{(s)} \tau^{(s)}_j \tau^{(s)}_k \right ) =</math>
: <math>\qquad = \sum_{p, s} k^{(p)} k^{(s)} \tau^{(p)}_i \tau^{(s)}_j \left ( \tau^{(p)}_k \tau^{(s)}_l - \tau^{(p)}_l \tau^{(s)}_k \right )</math>
 
Введемо позначення бівектора - орієнтованої площадки <math>\boldsymbol{\sigma}^{(ps)}</math>, побудованої на двох векторах головних напрямків:
: <math>(27) \qquad \boldsymbol{\sigma}^{(ps)} = \boldsymbol{\tau}^{(p)} \wedge \boldsymbol{\tau}^{(s)}</math>
або те саме в компонентах:
: <math>(28) \qquad \sigma^{(ps)}_{ij} = \tau^{(p)}_i \tau^{(s)}_j - \tau^{(p)}_j \tau^{(s)}_i</math>
Ці бівектори мають одиничну площу і взаємно ортогональні:
: <math>(29) \qquad |\boldsymbol{\sigma}^{(ps)}| = |\boldsymbol{\tau}^{(p)}| |\boldsymbol^{(s)}| \sin \phi = 1</math>
: <math>(30) \qquad \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(kl)\, ij} = 0, \; if (ps) \ne (kl)</math>
 
В правій частині формули (26) діагональні доданки з однаковими індексами (<math>p=s</math>) дорівнюють нулю, а недіагональні розбиваються на дві однакові по кількості групи: доданки з <math>p < s</math>, і доданки з <math>p > s</math>. Тому формулу (26) можна переписати так:
: <math>(31) \qquad R_{ijkl} = \sum_{p < s} k^{(p)} k{(s)} \sigma^{(ps)}_{ij} \sigma^{(ps)}_{kl}</math>
Із формули (31) і властивості [[Бівектор|бівектора]] легко видно, що має виконуватися алгебраїчна тотожність Біанкі.
 
В системі координат, що побудована на головних напрямках гіперповерхні, власні вектори мають координати:
: <math>(32) \qquad \tau^{(s)}_i = \delta^s_i, \qquad \boldsymbol{\tau}^{(s)} = \{0, 0, \dots 1, 0, \dots 0 \}</math>
 
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
511

редагувань