|
'''Многови́дБагатови́д''' — це об'єкт, який '''локально''' має характер [[Евклідів простір|евклідового простору]] розмірності n.
== Загальний опис ==
МноговидБагатовид має [[цілі числа|цілочислову]] [[розмірність]], яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати [[окіл]] довільної точки многовидабагатовида. Ідея многовидубагатовиду полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: ''n''-вимірний '''многовидбагатовид''' — це [[Гаусдорфів простір|Гаусдорфів]] [[топологічний простір]] у якому будь-яка точка ''x'' має окіл [[гомеоморфізм|гомеоморфний]] відкритій ''n''-вимірній кулі:
: <math>f_x:U\to B_n(0,r)=\{x\in\mathbf{R}^n: ||x||<r\}, x\in U. </math>
Завдання топологічних відображеннь <math>f_x</math>, які називаються '''картами''' (на зразок карт земної поверхні), є частиною структури многовидабагатовида, а сукупність усіх карт називається '''[[атлас (математика)|атласом]]'''. Якщо виконується додаткова вимога, що різні карти узгоджені між собою диференційовним чином, а саме, якщо відображення <math> f_x\circ (f_y)^{-1}</math> між досить малими відкритими множинами ''n''-вимірного Евклідового простору (визначені лише для деяких пар (''x'',''y'')) не тільки неперервні, а й гладкі, то маємо справу з '''гладким многовидомбагатовидом'''.
== Приклади ==
[[Файл:Red cylinder.svg|right|thumb|Скінченний циліндр є многовидомбагатовидом з межами .]] ▼
* Одновимірний многовидбагатовид — це крива, наприклад, [[пряма]], [[коло]], [[еліпс]], [[Гіпербола (математика)|гіпербола]], або [[парабола]]. Ця лінія не може мати кінцевих точок або перетинати себе. Додатково, з диференційовності лінії випливає, що у кожній точці цілком означена [[дотична]], яка неперервно залежить від точки.
Многовиди* Двовимірний багатовид — це поверхня, наприклад, [[сфера]], [[циліндр]], [[параболоїд]], [[тор]], тощо. Багатовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює. ▼
* [[Компактний простір|Компактниий]] [[Зв'язаний простір|зв'язаний]] многовидбагатовид без [[Границя (топологія)|границі]] називається '''[[замкнутий многовидбагатовид|замкнутим]]'''. ▼* Двовимірний многовид — це поверхня, наприклад, [[сфера]], [[циліндр]], [[параболоїд]], [[тор]], тощо.
▲Многовиди вищих розмірностей узагальнюють лінії та поверхні, хоча звичайна уява тут уже не працює.
▲* [[Компактний простір|Компактниий]] [[Зв'язаний простір|зв'язаний]] многовид без [[Границя (топологія)|границі]] називається '''[[замкнутий многовид|замкнутим]]'''.
* ''n''-вимірна сфера, або ''[[гіперсфера]]'':
: <math>S^n=\{x\in\mathbf{R}^{n+1}: ||x||=1\}. </math>
▲[[Файл:Red cylinder.svg|right|thumb|Скінченний циліндр є многовидом з межами.]]
== Додаткові структури на многовидахбагатовидах ==
Задання [[метричний тензор|метричного тензора]] <math>g_{ij}</math> дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати ([[скалярне поле]]) по підмноговидахпідбагатовидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовидабагатовида, або [[інтегрування по об'єму многовидабагатовида|по об'єму самого многовидабагатовида]]. ▼
▲Задання [[метричний тензор|метричного тензора]] <math>g_{ij}</math> дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати ([[скалярне поле]]) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або [[інтегрування по об'єму многовида|по об'єму самого многовида]].
Інтегрувати [[векторне поле|векторні]] та [[тензорне поле|тензорні]] поля так просто, як скаляр, не можна — через [[комутативність|некомутативність]] [[паралельне перенесення векторів|паралельного переносу векторів]] (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]].
Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і <math>k</math>-мірні об'єми <math>k</math>-мірних підмноговидівпідбагатовидів (<math>k \le n</math>, де <math>n</math> — розмірність многовидабагатовида). Особливий інтерес становлять [[Мінімальні многовидибагатовиди|підмноговидипідбагатовиди мінімального об'єму]], зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовидабагатовида ([[геодезична лінія]]).
В околі будь-якої точки многовидабагатовида можна задати [[Майже декартові координати в точці многовидабагатовида|майже декартові координати]] такі, що [[початок координат]] буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб [[тензор Рімана]] дорівнював нулю. Якщо [[Нульовий тензор Рімана|тензор Рімана тотожно дорівнює нулю]] в деякій зв'язній області многовидабагатовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці <math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>), отже внутрішня геометрія такого многовидубагатовиду збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовидбагатовид може бути, наприклад, циліндром).
Розгляд кривини многовидабагатовида виявляється набагато простішим для [[гіперповерхня|гіперповерхонь]], коли многовидбагатовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є [[двовимірні многовидибагатовиди]] в тривимірному просторі.
== Див. також ==
* [[Ріманів многовидбагатовид]] ▼
* [[Замкнутий многовидбагатовид]] ▼* [[Диференційовний многовидбагатовид]] ▼▲* [[Замкнутий многовид]]
▲* [[Диференційовний многовид]]
* [[Орбівид]]
== Література ==
* ''Бронштейн И. Н.'', ''Семендяев К. А.'' Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.
▲{{ Портал^}}{{ВП-портали|Математика}}
[[Категорія:Многовиди|*]] ▼
▲[[Категорія: МноговидиБагатовиди|*]]
[[Категорія:Топологія]]
[[Категорія:Диференціальна геометрія]]
| 