Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 150:
Нехай ''A'' —множина всіх часткових границь послідовності {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1}.
{{plain theorem|характеризація часткової границі}} [[Число]] ''a'' ∈ ''R'' є частковою границею послідовності {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} тоді і тільки тоді, коли ∀ ''ε'' > 0 ∀ ''N'' ∈ ''N'' ∃ ''ñ'' ∈ ''N'' : ''ñ'' ≥ ''N'', |''a''<sub>''ñ''</sub> - ''a''| < ''ε''.
</div>
{{plain theorem}} Будь-яка послідовність [[дійсні числа|дійсних чисел]] містить монотонну підпослідовність.
Рядок 160 ⟶ 163:
{{Definition}} Нехай {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} ⊂ ''R'' — ''послідовність'' і ''A'' — ''множина її часткових границь''. ''Нижньою границею послідовності'' називається величина
:<math>\varliminf_{n \to \infty}a_n = \inf A</math>.
</div>
''Верхньою границею послідовності'' називається величина▼
{{remark}} Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} обмежена знизу і ''A'' ≠ {+∞}. Також нижня границя дорівнює -∞, якщо {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} не обмежена знизу і дорівнює +∞, якщо ''A'' = {+∞}.
</div>
▲{{Definition}} ''Верхньою границею послідовності'' називається величина
:<math>\varlimsup_{n \to \infty}a_n = \sup A</math>.
</div>
{{remark}} Вищенаписане означення справедливе тоді, коли {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} обмежена зверху і ''A'' ≠ {-∞}. Також верхня границя дорівнює +∞, якщо {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} не обмежена зверху і дорівнює -∞, якщо ''A'' = {-∞}.
</div>
Рядок 169 ⟶ 180:
</div>
{{plain theorem|про характеризацію нижньої та верхньої границі}} Нехай {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1} — обмежена послідовність. Тоді
:<math>\alpha\ = \varliminf_{n \to \infty}a_n</math>.
Дане твердження рівносильне ∀ ''ε'' > 0:
# множина {''n'' ∈ ''N'' | ''a''<sub>''n''</sub> < ''a''-''ε''} скінченна і
# множина {''n'' ∈ ''N'' | ''a''<sub>''n''</sub> < ''a''+''ε''} нескінченна.
:<math>\beta\ = \varlimsup_{n \to \infty}a_n</math>.
Дане твердження рівносильне ∀ ''ε'' > 0:
# множина {''n'' ∈ ''N'' | ''a''<sub>''n''</sub> > ''β''+''ε''} скінченна і
# множина {''n'' ∈ ''N'' | ''a''<sub>''n''</sub> > ''β''-''ε''} нескінченна.
</div>
Тобто, щоб визначити нижню границю послідовності, варто скористатись формулою:
:<math>\varliminf_{n \to \infty}a_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}a_m\Big)</math>
Для верхньої границі відповідно:
:<math>\varlimsup_{n \to \infty}a_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}a_m\Big)</math>
{{example}} Розглянемо послідовність {''a''<sub>''n''</sub>} = {1; 0; 2; 0; 3; 0,…}. Множина граничних точок ''A'' = {0; 3}. Тому нижньою границею буде
:<math>\varliminf_{n \to \infty}a_n = 0</math>.
Верхньою границею буде відповідно:
:<math>\varlimsup_{n \to \infty}a_n = 3</math>.
</div>
{{plain theorem}} Нехай для послідовності [[числа|чисел]] {''a''<sub>''n''</sub> | ''n'' ≥ 1}
:<math>\alpha\ = \varliminf_{n \to \infty}a_n, \beta\ = \varlimsup_{n \to \infty}a_n</math>.
Тоді ''α'' ∈ ''A'', ''β'' ∈ ''A''.
</div>
==Історія==
| |||