Користувач:Knu mechmat/Границя числової послідовності: відмінності між версіями
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 2:
'''Грани́ця числово́ї послідо́вності''' — фундаментальне поняття [[математичний аналіз|математичного аналізу]], [[число]], до якого члени послідовності прямують зі збільшенням індекса в сенсі наступного [[означення]].
==Означення границі==
{{Definition}} [[Дійсне число]] ''a'' називається ''
</div>
{{denotation}} ''Границю числової послідовності'' позначають так:
:<math> a = \lim_{n \to \infty}a_n </math>
або
:<math> a_n \rightarrow a, n \rightarrow \infty </math>
</div>
Рядок 14 ⟶ 18:
Кажуть також, що ''послідовність'' {''a''<sub>n</sub> : ''n'' ≥ 1} ''збігається до числа a'', або ''має границю a''.
{{example}} Нехай ''a''<
:<math> \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0 </math> Оскільки ∀ ''ε'' > 0|1/''n''-0| = 1/''n'' < ''ε'' ⇔ ''n'' > 1/''ε''. Тому ∀ ''ε'' > 0 ∃ ''N'' := (1/''ε'' +1) ∈ ''R'' ∀ ''n'' ≥ ''N'' : |1/''n'' - 0| < ''ε''.
</div>
{{Definition}} Послідовність, що збігається до деякої границі називається ''збіжною'', в інших випадках — ''розбіжною''.▼
</div>
{{example}} Розглянемо ''a''<sub>n</sub> = (-1)<sup>n</sup>, ''n'' ≥ 1. Доведемо, що {''a''<sub>n</sub>} = {-1; 1; -1; 1…} —розбігається. Припустимо, що ''a''<sub>n</sub> → ''a'', ''n'' → ∞. Тоді для ''ε'' = 1/2 ∃ ''N'' ∀ ''n'' ≥ ''N'' : |''a''<sub>n</sub> - ''a''| < ''ε'' = 1/2. В такому випадку ми могли б записати:
:<math> \begin{cases}|-1 - a| < {1 \over 2}\\
|1 - a| < {1 \over 2} \end{cases}</math>,
але таких ''a'' —не існує.
▲Послідовність, що збігається до деякої границі називається ''збіжною'', в інших випадках — ''розбіжною''.
</div>
==Геометрична інтерпретація==
{{Definition}} [[Число]] ''a'' називається
</div>
==Історія==
:<math> \lim_{n \to \infty}a_n </math>.
| |||