Проміжок (математика): відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Проміжок''' — у [[Математичний аналіз|математичному аналізі]], [[множина]] (сукупність) [[Дійсні числа|дійсних чисел]], що містяться між двома числами ([[Точка|точками]] на [[Вісь координат|вісі координат]]) або [[Невласне число|невласними числами]].
Проміжок може включати або не включати кінці проміжку. Цим проміжок відрізняється від [[Інтервал (математика)|інтервалу]] в класичному розумінні — тобто, відкритого проміжку, в який не включено його кінці. Однак терміни "проміжок" та "інтервал" нерідко використовують як синоніми, особливо в перекладах з англомовної літератури, оскільки під [[:en:Interval (mathematics)|терміном "interval" англійською]] розуміється проміжок.
== Верхня та нижня границі (межі) проміжку ==
== Позначення ==▼
Кінці проміжку, більший та менший, звуть відповідно верхньою та нижньою границями (межами) проміжку.
▲== Позначення ==
Як <math>(a,b)</math> позначається [[інтервал]] (відкритий проміжок), тобто, проміжок між дійсними числами <math>a</math> і <math>b</math>, не включаючи кінців цього проміжку (тобто, сукупність таких дійсних чисел <math>x</math>, які відповідають [[Нерівність|нерівності]] <math>a<x<b</math>).
Рядок 20 ⟶ 22:
* [[Інтервал (математика)|інтервал]] або відкритий проміжок: <math>(a,b)</math>
* [[відрізок]], або [[сегмент]], або закритий (замкнений) проміжок: <math>[a,b]</math>;
* півінтервали ([[напівінтервал]]и, напіввідкриті проміжки): <math>[a,b)</math>, <math>(a,b]</math>
* нескінченні проміжки: нескінченний інтервал, наприклад, <math>(-\infty,0)</math>; нескінченний відрізок, наприклад, <math>[0,\infty)</math>
* всі дійсні числа, множина <math>\mathbb{R}</math> як проміжок <math>(-\infty,\infty)</math>
* [[порожня множина]] <math>\varnothing</math> як проміжок, що не містить жодного числа — те саме, що <math>(a,a)</math>
== Типи проміжків у нотації теорії множин ==
У випадку множини дійсних чисел <math>\mathbb{R}</math> можна навести такі типи проміжків у нотації теорії множин:
* <math>(a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}</math>,
* <math>[a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}</math>,
* <math>[a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}</math>,
* <math>(a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}</math>,
* <math>(a,\infty)=\{x\,|\,x>a\}</math>,
* <math>[a,\infty)=\{x\,|\,x\geq a\}</math>,
* <math>(-\infty,b)=\{x\,|\,x<b\}</math>,
* <math>(-\infty,b]=\{x\,|\,x\leq b\}</math>,
* <math>(-\infty,\infty)=\{x\,|\,x \in \mathbb{R}\}</math>
* <math>[a,a]=\{a\}</math>
* <math>(a,a)= \varnothing</math>
У випадку [[Невласне число|розширеної множини дійсних чисел]] <math>\mathbb{R}^+</math> додаються такі типи проміжків:
* <math>[-\infty,b]=\{x\,|\,x \leq b\}\bigcup \{ -\infty\} </math>
* <math>[-\infty,b)=\{x\,|\,x < b\}\bigcup \{ -\infty\} </math>
* <math>[a,\infty]=\{x\,|\,x \geq a\}\bigcup \{\infty\} </math>
* <math>(a,\infty]=\{x\,|\,x > a\}\bigcup \{\infty\} </math>
* <math>[-\infty,\infty]=\mathbb{R}^+</math>
== Довжина проміжку ==
[[Довжина]] проміжку дорівнює [[Різниця|різниці]] між його верхньою і нижньою межами, незалежно від того, чи включені до проміжку його кінці (оскільки [[міра множини]] з одного дійсного числа дорівнює нулю):
<math>\mu((a,b))=\mu([a,b])=\mu([a,b))=\mu((a,b])=b-a</math>
== Див. також ==
Рядок 30 ⟶ 58:
* [[Напівінтервал]]
* [[Відрізок]]
* [[Верхня та нижня межа]]
== Література ==
| |||