Проблеми Гільберта: відмінності між версіями

'''Проблеми Гільберта'''  — список з 23 кардинальних проблем математики, представлений [[Гільберт Давид|Давидом Гільбертом]] на [[Міжнародний конгрес математиків|II Міжнародному Конгресі математиків]] у [[Париж]]і у [[1900]] році. Тоді ці проблеми (які охоплювали основи математики, [[алгебра|алгебру]], [[теорія чисел|теорію чисел]], [[геометрія|геометрію]], [[топологія|топологію]], алгебраїчну геометрію, [[групи Лі]], дійсний і комплексний аналіз, [[диференціальні рівняння]], математичну фізику і [[теорія ймовірностей|теорію імовірностей]], а також [[варіаційне числення]]) не були розв'язані. У цей час розв'язані 16 проблем з 23. Ще 2 не є коректними математичними проблемами (одна сформульована занадто розпливчасто, щоб зрозуміти, розв'язана вона чи ні, інша, далека від розв'язання,  — фізична, а не математична). З 5 проблем, що залишилися, дві не розв'язані ніяк, а три розв'язані тільки для часткових випадків.

|bgcolor="#FFE2B6"|'''нема консенсусу'''<ref>[[Гедель, Курт|курт Гедель]] [[Теореми Геделя про неповноту|довів]], що несуперечність аксіом арифметики не можна довести, виходячи із самих аксіом арифметики</ref>

|Несуперечливість аксіом арифметики.

|Рівноскладеність рівновеликих [[багатогранник|многогранникмногогранників]]ів

|Перерахувати [[метрикаМетрика простору|метрики]], у яких прямі є [[геодезичнаГеодезична лінія|геодезичними]]

|Чи всі неперервні [[група (математика)|групи]] є [[групаГрупи ЛиЛі|групами Лі]]?

|Математичний виклад аксіом фізики

|Довести, що число <math>2^{\sqrt{2}}</math> є трансцендентним (або хоча би ірраціональним). <ref>Розв'язана Зігелем і Гельфондом (і незалежно Шнайдером) у загальнішому вигляді: якщо ''а'' ≠ 0, 1 &nbsp;— [[алгебраїчне число]], і ''b'' &nbsp;— алгебраїчне, але ірраціональне, то ''a^b'' &nbsp;— [[трансцендентне число]]</ref></td>

|Проблема простих чисел ([[гіпотеза Рімана]] і [[проблема Гольдбаха]])

|Доведення найзагальнішого закону взаємності в будь-якому числовому полі

|Задача про можливість розв'язання [[діофантове рівняння| діофантових рівнянь]]

|Вивчення квадратичних форм із довільними алгебраїчними числовими коефіцієнтами

|Поширення теореми Кронекера про абелеві поля на довільну алгебраїчну область раціональності

|Неможливість розв'язання загального рівняння сьомого степеня за допомогою функцій, що залежать тільки від двох змінних

|Доведення скінченнопородженості алгебри інваріантів алгебраїчної групи<ref>Твердження про скінченнопородженість алгебри інваріантів доведено для редуктивних груп. Нагата в 1958 році побудував приклад уніпотентної групи, у якої алгебра інваріантів не є скінченнопородженою. В.&nbsp;Л. &nbsp;Попов довів, що якщо алгебра інваріантів будь-якої дії алгебраїчної групи G на афінному алгебраїчному многовиді скінченнопороджена, то група G редуктивна.</ref>

|Строге обґрунтування обчислювальної геометрії Шуберта

|bgcolor="#FFFFB2"|'''частково&nbsp;розв'язана'''<ref>Перша (алгебраїчна) частина проблеми №&nbsp;16 більш точно формулюється так. Харнаком доведено, що максимальне число овалів дорівнює M=(n-1)(n-2)/2+1, і що такі криві існують &nbsp;— їх називають M-кривими. Як можуть бути розташовані овали M-кривої? Ця задача зроблена до степеня n=6 включно, а для ступеня n=8 досить багато відомо (хоча її ще не добили). Крім того, є загальні твердження, що обмежують те, як овали M-кривих можуть бути розташовані &nbsp;— див. роботи Гудкова, Арнольда, Роона, самого Гільберта (втім, варто враховувати, що в доведенні Гільберта для n=6 є помилка: один з випадків, який він вважав неможливим, виявився можливим і був побудований Гудковим). Друга (диференціальна) частина залишається відкритою навіть для квадратичних векторних полів &nbsp;— невідомо навіть, скільки їх може бути, і що оцінка зверху існує. Навіть індивідуальна теорема скінченності (те, що в кожного поліноміального векторного поля є скінченне число граничних циклів) була доведена зовсім недавно. Вона вважалася доведеною Дюлаком, але в його доведенні була виявлена помилка, і остаточно ця теорема була доведена Ілляшенко і Екалем &nbsp;— для чого кожному з них довелося написати по книзі</ref>

|Топологія алгебраїчних кривих і поверхонь<ref>Наведений переклад початкової назви проблеми, даний Гільбертом: [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html «16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flachen»]{{ref-de}}. Однак, більш точно її зміст (як це розглядається сьогодні) можна було б передати наступною назвою: «Число і розташування овалів дійсної алгебраїчної кривої даного степеня на площині; число і розташування граничних циклів поліноміального векторного поля даного степеня на площині». Ймовірно (як можна побачити з [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 англійського перекладу тексту анонса]{{ref-en}}), Гільберт вважав, що диференціальна частина (яка в реальності виявилася значно складнішою за алгебраїчною) буде піддаватися розв'язанню тими ж методами, що й алгебраїчна, і тому не включив її в назву.</ref>

|Представлення визначених форм у вигляді суми квадратів

|bgcolor="#DDFFCC"|'''розв'язана'''<ref> Bieberbach L. Uber die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336297–336; 1912, 72, S. 400—412400–412.</ref><ref>Рів і Грій також називають проблему №&nbsp;18 «відкритою» у своїй книзі за 2000 рік, тому що задача упакування куль (відома також як [[задача Кеплера]]) не була розв'язана на той час, однак на сьогоднішній день є відомості про те, що вона уже розв'язана (див. далі). Просування в розв'язанні проблеми №&nbsp;16 були зроблені в недавній час, а також в 1990-х.</ref>

|Скінченність числа [[кристалографічна група|кристалографічних груп]]; нерегулярні заповнення простору конгруентними многогранниками; найщільніше [[упакування куль]]

|Чи завжди розв'язки регулярної варіаційної [[Лагранжіан|задачі Лагранжа]] є аналітичними?

|Загальна задача про граничні умови (?)

|Доведення існування лінійних диференціальних рівнянь із заданою групою монодромії

|Уніформізація аналітичних залежностей за допомогою автоморфних функцій

* [http://ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm Проблеми Гільберта], Збірник за редакцією [[Александров, Павло СергеевичСергійович|пП.&nbsp;С. &nbsp;Александрова]], М., Наука, 1969 &nbsp;р., 240 с.

* А. &nbsp;А. &nbsp;Болибрух, [http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=1 «Проблеми Гільберта (100 років спустя)»]

* [http://dell.lib.bmstu.ru/Exhibition/Gilbert/Gilbert_head.htm До конференції 2000 року «Математика і її додатки» бібліотека МГТУ ім. Н.&nbsp;Э.&nbsp;Баумана підготувала виставку «Проблеми Гільберта», також список праць Д. Гільберта]