Інтеграл Рімана: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м →Критерій Дарбу інтегровності функції: Збільшено розмір малюнку |
м Додано шаблони для означень, теорем і тп, а також пробіли перед виключними формулами |
||
Рядок 16:
Очевидно, що чим менші відрізки [''x''<sub>''k''</sub>, ''x''<sub>''k''+1</sub>] розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.
{{remark}} Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δ''x''<sub>''k''</sub> := ''x''<sub>''k''+1</sub> − ''x''<sub>''k''</sub> = Δ''x'' =: (''b'' − ''a'') / ''n'' для всіх ''k'' = 0,…, ''n'' − 1), то таке розбиття називається ''рівномірним''.▼
</div>
▲Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δ''x''<sub>''k''</sub> := ''x''<sub>''k''+1</sub> − ''x''<sub>''k''</sub> = Δ''x'' =: (''b'' − ''a'') / ''n'' для всіх ''k'' = 0,…, ''n'' − 1), то таке розбиття називається ''рівномірним''.
{{definition}} ''Діаметром'' (''розміром'', ''дрібністю'') ''розбиття'' λ = {''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>,…, ''x''<sub>''n''</sub>} називається число |λ| = max {Δ''x<sub>k</sub>'', 0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}.▼
</div>
▲''Діаметром'' (''розміром'', ''дрібністю'') ''розбиття'' λ = {''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>,…, ''x''<sub>''n''</sub>} називається число |λ| = max {Δ''x<sub>k</sub>'', 0 ≤ ''k'' ≤ ''n'' − 1}.
Величина ▼
<math>S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\})=\sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k},</math>▼
▲{{definition}} Величина
▲:<math>S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\})=\sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k},</math>
називається ''інтегральною сумою'' для функції ''f'' та точок {''c''<sub>''i''</sub> | λ}, які відповідають розбиттю λ.
</div>
Інтегральна сума дорівнює площі ступінчастої фігури, і її природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел ''S''(''f'', λ, {''c''<sub>''i''</sub> | λ}), коли |λ| → 0:
: <math> S = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\}) = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k}.</math>▼
▲<math> S = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} S(f, \, \lambda, \, \{c_i|\lambda\}) = \lim_{|\lambda| \rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(c_{k}) \Delta x_{k}.</math>
До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою [[швидкість|швидкістю]] ''v''(''t'') протягом часу від моменту ''t''<sub>1</sub> до ''t''<sub>2</sub>.
Рядок 37 ⟶ 34:
== Означення інтеграла Рімана==
[[Файл:Integral_sum.pdf|thumb|upright=1.5|Чим дрібніший діаметр розбиття λ, тим ближче значення інтегральної суми до значення інтеграла Рімана]]
{{definition|інтеграла Рімана}} Нехай функція ''f'' : [''a'', ''b''] → ''R'' (''a'' < ''b'') та▼
▲Нехай функція ''f'' : [''a'', ''b''] → ''R'' (''a'' < ''b'') та
* для довільного розбиття λ відрізка [''a'', ''b''] та відповідного йому набору точок {''c''<sub>''i''</sub> | λ} існує скінченна границя інтегральних сум ''S''(''f'', λ, {''c''<sub>''i''</sub> | λ}) при |λ| → 0,
* границя інтегральних сум ''S''(''f'', λ, {''c''<sub>''i''</sub> | λ}) не залежить від розбиття λ і вибору точок ''c''<sub>''i''</sub>.
Тоді таку границю називають ''інтегралом Рімана'' функції ''f'' по відрізку [''a'', ''b''] і позначають символом
: <math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx.</math>▼
▲<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx.</math>
У цьому випадку функція ''f''(''x'') називається ''інтегровною (за Ріманом)'' на [''a'', ''b'']; в протилежному випадку ''f''(''x'') є ''неінтегровною (за Ріманом)'' на відрізку [''a'', ''b''].
</div>
</div>
{{denotation}} Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [''a'', ''b''] позначають ''R''([''a'', ''b'']).▼
</div>
▲Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [''a'', ''b''] позначають ''R''([''a'', ''b'']).
'''Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість:''' якщо функція ''f''(''x'') необмежена на відрізку [''a'', ''b''], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.
Рядок 59 ⟶ 56:
* '''Орієнтовність інтеграла:''' має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку «в зворотньому напрямку», а саме для ''a'' > ''b'' вважаємо, що
: <math> \int_a^b f(x) \, dx := - \int_b^a f(x) \, dx; </math>▼
▲<math> \int_a^b f(x) \, dx := - \int_b^a f(x) \, dx; </math>
* '''Інтеграл по відрізку нульової довжини:''' має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку нульової довжини, а саме для довільного ''a'' ∈ ''R'' вважаємо, що
: <math>\int_{a}^{a} f(x)\, dx := 0;</math>▼
▲<math>\int_{a}^{a} f(x)\, dx := 0;</math>
* '''Інтегровність на меншому відрізку:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']), то ''f'' ∈ ''R''([''c'', ''d'']) для довільного відрізку [''c'', ''d''] ⊂ [''a'', ''b''];
* '''Адитивність:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) ∩ ''R''([''b'', ''c'']) (''a'' < ''b'' < ''c''), то ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''c'']) і
: <math>\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx;</math>▼
▲<math>\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx;</math>
=== Властивості зі знаком рівності ===
Рядок 79 ⟶ 73:
* '''Невиродженість:''' для всіх {''a'', ''b''} ⊂ ''R'' має місце рівність
: <math>\int_{a}^{b}1\, dx = b - a;</math>▼
▲<math>\int_{a}^{b}1\, dx = b - a;</math>
* '''Лінійність:''' якщо {f, g} ⊂ ''R''([''a'', ''b'']), то для довільних {α, β} ⊂ ''R''([''a'', ''b'']) функція α''f'' + β''g'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та
: <math>\int_{a}^{b}(\alpha f(x) + \beta g(x))\, dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\, dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\, dx. </math>▼
▲<math>\int_{a}^{b}(\alpha f(x) + \beta g(x))\, dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\, dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\, dx. </math>
* '''Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана''': якщо ''f''<sub>''i''</sub> ∈ ''R''([''a'', ''b'']) [[рівномірна збіжність|рівномірно збігаються]] на [''a'', ''b''] до функції ''f'', то ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та
: <math>\lim_{i\to\infty} \int_a^b f_i(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx</math>▼
▲<math>\lim_{i\to\infty} \int_a^b f_i(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx</math>
=== Нерівності ===
Рядок 95 ⟶ 86:
* '''Невід'ємність:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та невід'ємна на [''a'', ''b''], то
: <math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \ge 0;</math>▼
▲<math> \int_{a}^{b} f(x)\, dx \ge 0;</math>
* '''Нерівність інтегралів:''' якщо {f, g} ⊂ ''R''([''a'', ''b'']) та ''f''(''x'') ≤ ''g''(''x'') для всіх ''x'' ∈ [''a'', ''b''], то
: <math>\int_{a}^{b}f(x)\, dx \leq \int_{a}^{b}g(x)\, dx;</math>▼
▲<math>\int_{a}^{b}f(x)\, dx \leq \int_{a}^{b}g(x)\, dx;</math>
* '''Оцінка модуля інтеграла:''' якщо ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']), то |''f''| ∈ ''R''([''a'', ''b'']) та
: <math>\left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right|\leq \int_{a}^{b}|f(x)| \, dx.</math>▼
▲<math>\left|\int_{a}^{b}f(x)\,dx \right|\leq \int_{a}^{b}|f(x)| \, dx.</math>
== Інтегровність за Ріманом функцій ==
Рядок 115 ⟶ 103:
Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції ''f''(''x'') та розбиття λ — це інтегральні суми, в яких відповідні точки {''c''<sub>''i''</sub> | λ} обираються як точні нижня та верхня межі функції ''f''(''x'') відповідно.
<!--
<math>
Рядок 121 ⟶ 109:
</math>
-->
</div>
</div>
<!-- це в цій статті не знадобилось
{{definition}} ''Нижнім інтегралом Дарбу'' для функціїї ''f''(''x'') по відрізку [''a'', ''b''] називається число▼
: <math> I_*(f) = \sup_{\lambda} s(f, \, \lambda),▼
▲''Нижнім інтегралом Дарбу'' для функціїї ''f''(''x'') по відрізку [''a'', ''b''] називається число
▲<math> I_*(f) = \sup_{\lambda} s(f, \, \lambda),
</math>
а ''верхнім інтегралом Дарбу'' для функціїї ''f''(''x'') по відрізку [''a'', ''b''] — число
: <math> I^*(f) = \inf_{\lambda} S(f, \, \lambda).▼
▲<math> I^*(f) = \inf_{\lambda} S(f, \, \lambda).
</math>
Тут inf та sup беруться по усіх можливих розбиттях λ відрізку [''a'', ''b''].
</div>
-->
За допомогою верхньої та нижньої сум Дарбу можна дати критерій інтегровності функції за Ріманом.
: <math>▼
▲<math>
\lim_{|\lambda|\to 0} (S(f, \, \lambda) - s(f, \, \lambda)) = 0.
</math>
</div>
=== Класи інтегровних за Ріманом функцій ===
</div>
</div>
# функція ''f''(''x'') обмежена на [''a'', ''b''];
# ''f'' ∈ ''C''([''a'', ''b''] \ {''z''<sub>1</sub>, ''z''<sub>2</sub>,…, ''z''<sub>n</sub>}).
Тоді ''f'' ∈ ''R''([''a'', ''b'']).
</div>
== Методи обчислення інтегралів Рімана ==
{{plain theorem}} Припустимо, що функція ''f'' задовольняє умовам▼
▲Припустимо, що функція ''f'' задовольняє умовам
# ''f'' ∈ ''R''[''a'', ''b''];
# ''f'' має [[первісна|первісну]] ''F'' на [''a'', ''b''].
Тоді справедлива '''формула Ньютона—Лейбніца:'''
: <math> \int_{a} ^{b} f(x)\, dx = F(x) \Bigr|_{x=a}^b := F(b)-F(a), </math>▼
</div>
▲<math> \int_{a} ^{b} f(x)\, dx = F(x) \Bigr|_{x=a}^b := F(b)-F(a), </math>
З формулою Ньютона—Лейбніца обчислення інтеграла Рімана зводиться до знаходження первісної для підінтегральної функції (див. [[Первісна#Методи знаходження первісної|методи знаходження первісної]]). Проте нею слід користуватися обережно, спочатку переконавшись у тому, чи задовільняє підінтегральна функція обом умовам теореми.
{{example}} Розглянемо інтеграл ▼
▲Розглянемо інтеграл
<math>\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x^{2}}. </math>
«Первісна» підінтегральної функції дорівнює ''F''(''x'') = −1/''x''. Тоді згідно з формулою Ньютона—Лейбніца шуканий інтеграл дорівнює ''F''(1) − ''F''(−1) = −2 < 0, що суперечить властивості невід'ємності інтеграла Рімана, оскільки ''f''(''x'') = 1/''x''² > 0.
Рядок 178 ⟶ 165:
# даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
# функція ''f''(''x'') розривна в точці ''x'' = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.
</div>
== Історія ==
| |||