Вікіпедія

Власні вектори та власні значення: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
м Скасування редагування № 12555022 користувача 195.225.175.238 (обговорення)
DixonDBot (обговорення | внесок)
Боти
220 373 редагування
м Посилання на джерела; косметичні зміни
Рядок 17:
 
== Приклади ==
* <math>A=I_n</math> це [[одинична матриця]]. Оскільки для довільного вектора <math>v</math> виконується <math>Av=v,</math> довільний ненульовий вектор є власним вектором <math>I_n</math> із власним значенням <math>1.</math>
 
* Якщо <math>A=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)</math> це [[діагональна матриця]], то будь-який елемент <math>e_i</math> [[стандартний базис|стандартного базису]] <math>n-</math>мірного [[Векторний простір|векторного простору]] — це власний вектор із власним значенням <math>a_i.</math>
Рядок 34:
Кратність кореня <math>\lambda_i \!</math> характеристичного полінома матриці <math>A\!</math> називається '''алгебраїчною кратністю''' власного значення <math>\lambda_i \!.</math>
 
Сукупність усіх власних значень матриці або лінійного оператора у скінченовимірному векторному просторі називається '''спектром''' матриці або лінійного оператора. (Ця термінологія видозмінюється для нескінченозмірних векторних просторів: у загальному випадку, до спектра оператора можуть належати <math>\lambda,</math> які не є власними значеннями.)
 
Завдяки зв'язку характеристичного поліному матриці з її власними значеннями, останні ще називають '''характеристичними числами''' матриці.
Рядок 41:
Для кожного власного значення <math>\lambda_i \!</math>, отримаємо свою систему рівнянь:
:<math>(A - \lambda_i I) v = 0, \!</math>
що матиме <math>1 \le m_i \le n_i \!</math> [[лінійна незалежність|лінійно незалежних]] розв'язків.
 
Сукупність усіх розв'язків системи утворює [[лінійний підпростір]] розмірності <math>m_i \;</math> та називається '''вла́сним про́стором''' ({{lang-en|eigenspace}}) матриці <math>A \!</math> з власним значенням <math>\lambda_i \!</math>.
Рядок 63:
:<math>AB=BA \quad \Rightarrow \quad \exists \; v, \lambda_1, \lambda_2: \;\; Av=\lambda_1 v, \; Bv=\lambda_2 v. </math>
 
* Якщо <math>A</math> — [[нормальний оператор]] у [[гільбертів простір|гільбертовому просторі]], то його власні вектори, що відповідають різним власним значенням є ортогональними і з них можна утворити повну [[ортонормований базис|ортонормовану систему]].
 
== Розклад матриці за допомогою власних векторів ==
* Якщо <math>A\!</math> квадратна матриця розміру ''n×n'', а <math>q_i (i=\overline{1,n})</math> — лінійно незалежні власні вектори матриці <math>A\!</math>, тоді справедлива формула:
:<math>A = Q \Lambda Q^{-1} \!</math>
де <math>Q \!</math> — квадратна матриця розміру ''n×n'', <math>\ i</math>-тий стовпець якої є вектор <math>q_i \!</math>, а <math>\Lambda \!</math> — це [[діагональна матриця]] з відповідними значеннями <math>\lambda_i \!</math>.
 
* [[Обернена матриця]] може бути представлена у вигляді:
Рядок 110:
|видання=друге
|рік=1967
|знаходження розміщення=Москва
|видавництво=[[Наука (видавництво)|Наука]]
|сторінки=576 с.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Власні_вектори_та_власні_значення