Оператори народження та знищення: відмінності між версіями

'''ОператориОпера́тори народженнянаро́дження та знищеннязни́щення''' - — пара взаємно спряжених квантовомеханічних операторів, зручних для запису гамільтоніанів квантовомеханічної системи у представленні [[вторинне квантування|вторинного квантування]].

Оператори народження й знищення визначаються з певними комутаційними властивостями, різними для [[ферміон]]ів та [[бозон]]ів.

Для поля ферміонів вводиться особливий вакуумний стан <math>| 0 \rangle </math>, який відповідає відсутності частинки.

Діючи на цей нульовий вакуумний стан, оператор народження "«створює"» частинку з [[хвильова функція|хвильовою функцією]] <math> \psi </math>:

: <math> \hat{a}^\dagger | 0 \rangle = |\psi \rangle </math>.

: <math> \hat{a} |\psi\rangle = |0 \rangle </math>.

Дія оператора знищення на нульовий стан дає нуль

: <math> \hat{a} | 0 \rangle = 0 </math>.

Відповідно, дія оператора народження на стан <math> |\psi \rangle </math>, теж дає нуль.

: <math> \hat{a}^\dagger |\psi\rangle = 0 </math>.

Оператор народження й знищення задовлільняють наступному '''антикомутаційному співвідношенню'''

: <math> \hat{a}^\dagger \hat{a} + \hat{a} \hat{a}^\dagger = 1 </math>.

: <math> \hat{N} = \hat{a}^\dagger \hat{a} </math>.

Вочевидь

: <math> \hat{N} |0\rangle = 0; \qquad \hat{N} |\psi \rangle = 1 |\psi \rangle. </math>

Для ферміона, який може перебувати в різних станах, оператори народження й знищення визначаються для кожного з цих станів.

Нехай у гільбертовому просторі станів ферміона заданий ортоноромований базис <math> \psi_n = |n \rangle </math>. Оператори народження й знищення <math> \hat{a}_n^\dagger </math> і <math> \hat{a}_n </math> для різних станів комутують між собою.

Будь-який квантовомеханічний оператор <math> \hat{A} </math> можна записати у вигляді

: <math> \hat{A} = \sum_{n,n^\prime} A_{n,n^\prime} \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime} </math>,

де

: <math> A_{n, n^{\prime}} = \langle n | \hat{A} | n^\prime \rangle </math> -&nbsp;— [[матричний елемент]] оператора.

Виражений через оператори народження й знищення, гамільтоніан квантовомеханічної системи, набирає особливо зручного вигляду, якщо ортогональний базис, для якого визначаються оператори народження й знищення, відповідає власним функціям певного модельного гамільтоніану <math> \hat{H}_0 </math>:

: <math> \hat{H}_0 | n \rangle = E_n | n \rangle </math>.

Розбиваючи гамільтоніан на дві частини:

: <math> \hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} </math>,

й переходячи до зображення операторів народження й знищення, його можна записати, як

: <math> \hat{H} = \sum_n E_n \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_n + \sum_{n,n^\prime} V_{n,n^\prime} \hat{a}^\dagger_n \hat{a}_{n^\prime} </math>

Для бозонів оператори народження й знищення вводяться аналогічно тому, як це робиться для [[гармонічний осцилятор#Оператори народження та знищення|гармонічного осцилятора]].

Бозони є кватновим аналогом класичних полів, які характеризуються інтенсивністю. При переході до квантової механіки ця характеристика зберігається у вигляді числа частинок у певному стані. Для стану

<math> | n \rangle </math> можна ввести оператор кількості частинок

<math> \hat{N} </math>, виходячи із співвідношення

: <math> \hat{N}| n \rangle = n | n \rangle </math>.

Оператор числа частинок виражається через оператори народження й знищення аналогічно тому, як для ферміонів

: <math> \hat{N} = a^\dagger a </math>.

Нульовий (вакуумний) стан <math> | 0 \rangle </math> відповідає відсутності частинок. Стан із одним бозоном утворюється із нульового стану, якщо подіяти на нього оператором народження

: <math> a^\dagger| 0 \rangle = | 1 \rangle </math>.

Відповідно,

<math> a | 1 \rangle = | 0 \rangle </math>.

З огляду на те, що хвильові функції бозонів симетричні щодо перестановки частинок, оператори народження й знищення для них задовільняють комутаційним співвідношенням

: <math> [a, a^\dagger] = aa^\dagger - a^\dagger a = 1 </math>.

Для опису полів, наприклад [[електромагнітне поле|електромагнітного поля]] оператори народження й знищення вводяться для кожної частоти [[фотон]]а.

Гамільтоніан поля має вигляд

: <math> \hat{H} = \sum_{\mathbf{k}} \hbar \omega_{\mathbf{k}}

\left( a^\dagger_{\mathbf{k}} a_{\mathbf{k}} + \frac{1}{2} \right) </math>,

де <math> \hbar </math> -&nbsp;— [[зведена стала Планка]], <math> \mathbf{k} </math> -&nbsp;— [[хвильовий вектор]], <math> \omega_{\mathbf{k}} </math> -&nbsp;— частота хвилі з хвильовим вектором

<math> \mathbf{k} </math>. Доданок 1/2 відповідає енергії [[нульові коливання|нульових коливань]].