Квантиль: відмінності між версіями

'''Квантиль'''&nbsp;— одна з числових характеристик випадкових величин, що застосовується в математичній статистиці<ref>[http://bse.sci-lib.com/article060293.html Большая Советская Энциклопедия]</ref>. Квантилі відсікають в межах ряду певну частину його членів. Тобто, квантиль (термін використаний вперше [[Кендал]]ом в 1940 &nbsp;р.) розподілення значень -&nbsp;— це таке число x_p, що значення p-ї частини сукупності менше або рівне x_p. Наприклад, квантиль 0.25 (також називається 25-м процентилем або нижнім квартилем) змінної -&nbsp;— це таке значення (x_p), що 25% (p) значень змінної попадають нижче даного значення<ref>[http://www.statsoft.ru/home/portal/glossary/GlossaryTwo/Q/Quantiles.htm Квантиль // statsoft.ru]</ref>.

== Визначення ==

Нехай маємо [[ймовірнісний простір]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, і <math>\mathbb{P}^{X}</math> &nbsp;— [[ймовірнісна міра]], що задає розподіл деякої випадкової величини <math>X</math>. Нехай зафіксовано <math>\alpha \in [0,1]</math>. Тоді <math>\alpha</math>-квантилем (або квантилем рівня <math>\alpha</math>) розподілу <math>\mathbb{P}^{X}</math> називається число <math>x_{\alpha} \in \mathbb{R}</math>, таке що

: <math>\mathbb{P}^X((-\infty,x_{\alpha}]) \equiv \mathbb{P}(X\le x_{\alpha}) = \alpha</math>.

* Якщо розподіл неперервний, то <math>\alpha</math>-квантиль однозначно задається рівнянням

: <math>F_X(x_{\alpha}) = \alpha</math>,

: де <math>F_X</math> &nbsp;— функція розподілу <math>\mathbb{P}^X</math> .

: <math>\mathbb{P}\left(x_{\frac{1 - \alpha}{2}} \le X \le x_{\frac{1+\alpha}{2}} \right) = \alpha</math>.

'''Інтерквартильним розмахом''' (англ. ''Interquartile range'') називається різниця між третім і першим квартилем, тобто <math>x_{0.75} - x_{0.25}</math>. Інтерквартильний розмах є характеристикою розкиду розподілу величини. Разом медіана і інтерквартильний розмах можуть бути використані замість [[математичне сподівання|математичного сподівання]] і [[дисперсія|дисперсії]] у разі розподілів з великими [[викидВикид (статистика)|викидами]]ами, або при неможливості обчислення останніх.

<math>p</math>-им '''перцентилем''' називають квантиль рівня <math>\alpha=p/100</math>. При цьому зазвичай розглядають перцентилі для цілих <math>p</math>, хоча дана вимога не обов'язкова. Відповідно, медіана є 50-м перцентилем, а перший і третій квартиль &nbsp;— 25-м і 75-м перцентилем. В цілому, поняття квантиль і перцентиль взаємозамінні, також, як і шкали числення вірогідності &nbsp;— абсолютна і процентна. Перцентілі також називаються процентилями або центилями.

== Див. також ==