Гільбертів простір: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м r2.7.1) (робот додав: af:Hilbert-ruimte |
формалізація означення; форматування; узгодження позначень |
||
Рядок 1:
'''Гі́льбертів про́стір''' (на честь [[Давид Гільберт|Давида Гільберта]]) — це
== Означення ==
Гільбертів простір є узагальненням до нескінченної розмірності як [[Евклідів простір|евклідового простору]] <math>\R^n</math> так і [[Ермітів простір|ермітового простору]] <math>\C^n.</math>▼
''Гільбертовим простором'' називається<ref name="eom">http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space</ref><ref>В.М.Кадец,
Курс функционального анализа, Х:Видавництво [[Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна|ХНУ]], 2004 - с.290</ref> [[векторний простір]] <math>H</math>над полем [[Дійсні числа|дійсних]] або [[комплексні числа|комплексних чисел]] разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних <math> (\cdot,\cdot):H\times H\to \mathbb{R}</math>(або <math>\mathbb{C}</math>, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:
# <math>(x,x)\geq0</math> для кожного <math>x\in H</math>
# <math>(x,x)=0</math> тоді і лише тоді, коли <math>x=0</math>
# <math>(x+y,z)=(x,z)+(y,z)</math> для довільних трьох <math>x,y,z\in H</math>
# <math>(\alpha x,y)=\alpha(x,y)</math>, де <math>x,y\in H</math>, <math>\alpha</math> - елемент скалярного поля. (<math>\mathbb R</math> або <math>\mathbb C</math>)
# <math>(x,y)=\overline{(y,x)}\ x,y\in H</math>
# Для довільної послідовності <math>x_n\in H,\ n=1,2,\ldots, </math>, для якої виконано
<center><math>lim_{l,k\to\infty}(x_l-x_k,x_l-x_k)=0</math>,</center>
::знайдеться елемент <math>x\in H</math>, що для нього
<center><math>lim_{n\to\infty}(x_n-x,x_n-x)=0</math>.</center>
::Тоді кажуть, що <math>x</math> є ''границею'' послідовності <math>x_n</math>.
Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові '''4''' маємо просто симетричність скалярного добутку: <math>(x,y)=(y,x)</math>.
Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось <math>dim H=\infty</math>, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові беж жодних додаткових застережень.
Слід зазначити, що умова '''5''' означає [[Повний метричний простір|повноту]] простору відносно [[Норма (математика)|норми]], заданої, як <math> \|x\| = \sqrt(x,x)</math> (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно [[банахів простір|банаховим простором]] (тобто, повним [[нормований простір|нормованим]] векторним простором) із нормою <math> \|x\| = \sqrt(x,x)</math>.
▲Гільбертів простір є узагальненням
'''
▲'''Прегільбертів простір''' — векторний простір зі скалярним добутком. Умови [[повний простір|повноти простору]] немає, тому він вже не є банаховим.
Лінійне відображення <math>\ L:H_1 \to H_2</math> між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається''' ізометрією''', якщо воне зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів <math>u,v \in H_1,</math> виконується рівність <math>(L(u),L(v))=(u,v).</math>
За допомогою тотожності
::<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>
(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; <math>x,y\in H</math> - довільні) доводиться, що <math>L</math> є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто <math>\|L(v)\|=\|v\|</math> для будь-якого <math>v\in H_1.</math> Ізометрія між двома гільбертовими просторами,
[[ізоморфізм]]ом гільбертових просторів.
== Приклади ==
1. Простір <math>l^2,</math> що складається з [[
:<math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad
\|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n \geq 1}|x_n|^2<\infty,</math>
із ермітовим скалярним добутком
:<math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n \geq 1}x_n\overline{
є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з [[дійсні числа|дійсними]] членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,</math> тобто ряд збігається — це неочевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із [[нерівність Коші-Буняковського|нерівності Коші-Буняковського]], застосованої до перших <math>n</math> членів послідовностей <math>\mathbf{x}</math> і <math>\mathbf{y}.</math> Отож, отримуємо, що
Рядок 40 ⟶ 44:
2. Гільбертів простір <math>L^2[-\pi,\pi]</math> квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку <math>[-\pi,\pi]</math> утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією''' поповнення'''. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на <math>L^2[-\pi,\pi]:</math>
<center><math>(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
== Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі ==
Рядок 57 ⟶ 61:
яке зіставляє будь-якому вектору <math>v\in H</math> послідовність його координат відносно ортонормального базису <math>\{u_n:n\in\mathbb{N}\}.</math> Тоді <math>L</math> — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом <math>l^2.</math> Ці властивості випливають з наступної''' рівності Парсеваля'''.
Припустимо, що <math>\{u_1,u_2,\ldots\}</math> — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі <math>H.</math> Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів <math>v \in H:</math>
<center><math>\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),</math></center>
Рядок 71 ⟶ 75:
* [[Банахів простір]]
* [[Теорема Ріса]]
== Примітки ==
{{reflist}}
== Література ==
* Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.
* ''Морен К.'', Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 c.
* {{книга
|автор = [[Стефан Банах|Банах С.]]
|заголовок = Курс функціонального аналізу (лінійні операції)
|рік = 1948
|видавництво = Радянська школа
|місто = {{Comment|К.|Київ}}
|сторінок = 216
}}
* ''Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г.'' Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
* {{книга
|автор = Вулих Б. З.
|заголовок = Введение в функциональный анализ
|рік = 1967
|видавництво = Наука
|місто = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок = 416
}}
* {{книга
|автор = Иосида К.
|заголовок = Функциональный анализ
|рік = 1967
|видавництво = Мир
|місто = {{Comment|М.|Москва}}
|сторінок = 624
}}
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
| |||