|
Клас <math>K</math> толерантності <math>T</math> називається '''максимальним''', якщо <math>K \subseteq L</math>, де <math>L</math> - деякий клас толерантності <math>T</math>, з чого виходить, що <math>K=L</math>. Покриття <math>\{A_i \mid i \in I\}</math> множини <math>A</math> співпадає з множиною всіх максимальних класів деякої толерантності тоді і тільки тоді, коли для будь-яких <math>i \in I</math> та <math>\backprime I'' \subseteq I</math> включення <math>A_i \subseteq \bigcup_{x\in A} A_x </math>, з чого випливає, що <math>\bigcap_{x\in I} A_x \subseteq A_i</math>.
== Т-толерантні алгебри, або TR-моделі ==
Процедура виділення t-розрізнюваних елементів із "реальної" сукупності A принципово неоднозначна: вона породжує сукупності <math>A_{t1}, A_{t2}, ... </math>,елементи яких можна представити на склеєних аркушах багатолисті поверхні, причому кожен аркуш відповідає якійсь одній можливості виділення . Позначимо через <math>A_(t)</math> об'єднання <math>Uk A_t^k</math>, що допускає можливість "відклеювання" листів. При цьому елементи <math>A (t) </math>будуть визначатися "з точністю до толерантності t".
'''T-модель''' — сукупність <math>M (t)</math> із заданим на ній відношенням толерантності <math>T</math> (позначення: <math>[M (t), T]</math>), таким, що <math>x T y</math> і <math>ytz</math> тягне за собою <math>x T z</math> для <math>x, y, z \in M (t)</math>.
Алгебраїчна система <math>\{A (t), R, T\}</math> на носії <math>M (t)</math> з сукупностями головних операцій<math>R \sim \{r_k:k \in I\}</math> і головних предикатів <math>T \sim \{T_j:j \in J\}</math>називається '''Т-толерантною алгеброю''', або TR-моделлю, якщо:
* алгебра <math>\{A_t,R\}</math><math>t</math>-замкнута, тобто для будь <math>n_k</math>-арной операції <math>r_k \in R</math> і будь-яких <math>x_1, ..., x_{nk} \in A_t </math>існує елемент <math>y \in A_t </math>такий, що <math>(x_1, ..., x_{nk})</math><math> rk</math><math> t</math><math>y</math> (властивість t-замкненості);
* відношення <math>T_j \in T</math> - толерантності на будь-якій<math> A_t^k</math>;
* операції <math>r_k</math> і толерантності <math>T_j (k \in I, j \in J)</math> узгоджені (або сумісні) на <math>A_t</math>, тобто для будь-яких <math>2n_k </math>елементів <math>x_1, ..., x_{nk}, y_1, ..., y_{nk} \in A_t</math> таких, що <math>x_1 T_j y_1, ..., x_{nk} T_j y_{nk}</math>, виконується <math>(x_1, ..., x_{nk}) r_k T_j (y_1, ..., y_{nk}) r_k</math> (властивість узгодженості Т з R).
Т-толерантну алгебру називатимемо '''t-локальною''',якщо істинність будь-якого твердження <math>P</math> відносно цієї алгебри не зміниться при зміні довільного <math>x \in A_t</math> на елемент <math>y \in A_t</math>такий,що <math>x t y</math>,тобто <math>P(...x...) - P(...y...)</math>(властивість t-локальності).
=== Теорема ===
Нехай <math>\{A_t,R,T\}</math> - t-локальна алгебра.Тоді:
# <math>\{A_t,R,T\}</math> - t-незв'язана (тобто,для будь-яких<math>x,y \in A_t</math> ні при яких <math>n</math> не виконується <math>x t^n y</math>,якщо<math>x</math><math>t</math><math>y</math> являється невірним).
# Порядок <math>\{A_t,R,T\}</math> дифінітно-скінченний (тобто <math>|A_t| \in N_{t0}^+</math>.
# Толерантний простір <math>[A_t,T]</math>утворює T-модель.
# Толерантність t узгоджена з алгеброю <math>\{A_t,R\}</math>.
==== Доведення ====
Припустимо протилежне,тобто що для якихось <math>x,y \in A_t</math> виконується <math>x t^n y</math>.Тоді,застосовуючи до носія <math>A_t</math> алгебри <math>n-1</math> разів властивість t-локальності ,з останнього отримаємо <math>x t y</math>,у протиріччі з нашим припущенням,що <math>x,y \in A_t</math>.
Таким самим способом можна довести друге твердження.Припустимо,що являється невірним <math>|A_t|\in N_{t0}^+</math>.Тоді це означало б,що для якихось <math>A_{t1},A_{t2} \in A_t</math> виконується <math>|A_{t1} t_0 N</math> та <math>|A_{t2} t_0 (N+1)</math> ,тобто що хоча б 2 елементи <math>x,y \in A_t</math> t-розрізнювані в <math>A_{t2}</math>t-зв'язні та t-нерозрізнювані в <math>A_{t1}</math>.
Третя властивість випливає безпосередньо з t-локальності толерантної алгебри <math>\{A_t,R,T\}</math> ,що можна застосувати до <math>[A_t,T]</math>.
Четверта властивість може бути доведена за допомогою властивостей t-замкненості та t-локальності.Дійсно,якщо <math>x_1 ,..,x_{nk},y_1,...,y_{nk} \in A_t</math> і <math>x_1 t y_1,...,x_{nk} t y_{nk}</math> ,то,в силу t-замкненості <math>(x_1,...,x_{nk)}r_k t z,(y_1,...,y_{nk} )r_k t z'</math>,а в силу t-локальності <math>z t z'</math> і <math>(x_1,...,x_{nk}) r_k t (y_1,...,y_{nk})r_k</math>.
== Приклади толерантності ==
=== Приклад 1 ===
|
