Частково впорядкована множина: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
IvanBot (обговорення | внесок) м replaced: = Дивись також = → = Див. також = |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
[[Файл:Lattice of the divisibility of 60.svg|thumb|right|250px|[[діаграма Хаса]] [[дільник]]ів числа 60, <br/> частково впорядкована за [[подільність|подільністю]]]]
'''Частково впорядкованою множиною''' <math>(P,\leqslant),</math> називається [[множина]] <math>P</math> з заданим на ній [[рефлексивність|рефлексивним]], [[антисиметричність|антисиметричним]] та [[транзитивність|транзитивним]] [[бінарне відношення|бінарним відношенням]] <math>\leqslant</math> (називається — [[відношення нестрогого порядку]]).
[[Файл: Hasse diagram of powerset of 3.svg | right | thumb | 250px | Підмножини {x, y, z}, впорядковані відношенням включення]]
Загалом це [[Математика | математичне]] поняття, яке формалізує інтуїтивні ідеї впорядкування, розташування елементів у певній послідовності. Неформально, множина частково впорядковано, якщо вказано, які елементи'' слідують'' за якими (які елементи'' більше'' яких). У загальному випадку може виявитися так, що деякі пари елементів не пов'язані відношенням «'' слідкує за''».
За допомогою відношення <math>\leqslant</math> ми маємо змогу «порівнювати» елементи <math>P.</math> На відміну від [[натуральні числа|натуральних]] або [[дійсні числа|дійсних чисел]], у довільній частково впорядкованій множині можуть існувати елементи, які неможливо порівняти.
== Визначення ==
'' 'Порядком''', або'' 'частковим порядком''', на множині <math>M</math> називається [[бінарне відношення]] <math>\varphi</math> на <math>M</math> (визначене деякою множиною <math> R_{\varphi} \ subset M \times M </math>), яке задовольняє наступні умови{{Sfn| Колмогоров | 2004 | з = 36}}:
* [[Рефлексивність |''Рефлексивність'']]: <math>\forall a \; (a \varphi a)</math>
* [[Транзитивність |''Транзитивність'']]: <math>\forall a, b, c \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi c) \Rightarrow a \varphi c </math>
* [[Антисиметричне відношення |''Антисиметричність'']]: <math>\forall a, b \; (a \varphi b) \wedge (b \varphi a) \Rightarrow a = b</math>
Множина <math>M</math>, на якій задане відношення часткового порядку, називається'' 'частково впорядкованою''' ({{lang-en|partially ordered set, poset}}). Якщо бути зовсім точним{{Sfn|Александров|1977|с=78}}, то частково впорядкованою множиною називається пара <math>\langle M, \varphi \rangle</math>, де <math>M</math> - множина, а <math>\varphi</math> - відношення часткового порядку на <math>M</math>.
=== Терміни й позначення ===
Відношення часткового порядку зазвичай позначають символом <math>\leqslant</math>, за аналогією з відношенням «менше або дорівнює» на множині [[Дійсне число | дійсних чисел]]. При цьому, якщо <math>a \leqslant b</math>, то кажуть, що елемент <math>a</math> ''не перевершує'' <math>b</math>, або що <math>a</math> ''підпорядкований'' <math>b</math>.
Якщо <math>a \leqslant b</math> і <math>a \neq b </math>, то пишуть <math>a < b</math>, і кажуть, що <math>a</math> '' менше'' <math>b</math>, або що <math>a</math> '' строго підпорядковане'' <math>b</math>.
Іноді, щоб відрізнити довільний порядок на деякій множині від відомого відношення «менше або дорівнює» на множині дійсних чисел, замість <math>\leqslant</math> і <math><</math> використовують спеціальні символи <math>\preccurlyeq</math> і <math>\prec</math> відповідно.
=== Строгий і нестрогий порядок ===
Відношення, що задовольняє умовам рефлексивності, транзитивності і антисиметрична, також називають'' нестрогим'', або'' рефлексивним порядком''. Якщо умову рефлексивності замінити на умову [[Антирефлексивність|''антирефлексивності'']] (тоді властивісті антисиметричності зміняться на асиметричність):
: <math>\forall a \; \neg (a \varphi a)</math>
то отримаємо визначення'' строгого'', або'' антирефлексивного порядку''.
== Аксіоми нестрогого порядку ==
* <math>a\leqslant a</math> ([[рефлексивність]])
* з <math>a\leqslant b</math> та <math>b\leqslant a</math> випливає <math>\ a = b</math> ([[антисиметричність]])
| |||