Еліптична функція: відмінності між версіями

У [[комплексний аналіз|комплексному аналізі]] '''еліптична функція''' — [[мероморфні функції|мероморфна]] [[періодична функція|періодична]] в двох напрямах функція, задана на [[комплексна площина|комплексній площині]]. Еліптичні функції можна розглядати як аналоги [[тригонометричні функції|тригонометричних]] (що мають тільки один період). Історично, еліптичні функції були відкриті як функції, [[обернена функція|обернені]] до [[еліптичний інтеграл|еліптичних інтегралів]].

Еліптичною функцією називають таку [[мероморфні функції|мероморфну функцію]] <math>f</math>, визначену на області <math>\C</math>, для якої існують два ненульові [[комплексне число|комплексні числа]] <math>a</math> і <math>b</math>, таких що:

:Дійсно якщо <math>\omega_1</math> і <math>\omega_2</math> два періоди еліптичної функції то <math>-\omega_1, \omega_1 + \omega_2, 0\,</math> теж є періодами, отже періоди утворюють адитивну групу. Щоб довести, що дана група є дискретною достатньо знайти константу <math>C > 0</math> таку, що єдиним періодом, що задовольняє нерівність <math>|\omega| < C\,</math> є <math>\omega = 0\,</math>. Нехай <math>z_0 \in \mathbb{C}</math> — деяка неособлива точка. Тоді в деякому [[окіл|околі]] цієї точки функція <math>f(z)</math> рівна сумі свого [[ряд Тейлора|ряду Тейлора]]:

Дана пара не є єдиною. Якщо ''a'' і ''b'' — фундаментальні періоди, що визначають деяку ґратку, то таку ж ґратку визначають і фундаментальні періоди ''d' '' і ''c' '' де ''d' '' = ''p'' ''a'' + ''q'' ''b'' і ''c' '' = ''r'' ''a'' + ''s'' ''b'' де ''p'', ''q'', ''r'' і ''s'' — цілі числа, що задовольняють рівність ''p'' ''s'' &minus; ''q'' ''r'' = 1. Тобто [[детермінант]] [[матриця (математика)|матриці]]:

== Властивості ==