Відмінності між версіями «Числовий ряд»

2135 байтів додано ,  14 років тому
м
доповнення
(доповнення)
м (доповнення)
== Основні означення ==
 
Нехай <math>\{a_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> — деяка [[Числова послідовність|послідовність дійсних чисел]]. Для кожного <math>n \in \mathbb{N}</math> визначена скінченна сума цих елементів
 
<math>S_{n} :\,= a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}</math>.
 
'''Означення.''' Дві [[Числова послідовність|числові послідовності]] <math>\{a_{n} \colon n \geqslant1\}</math> та <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> називаються ''числовим рядом'' и позначаються
 
<math>a_{1} + a_{2} + \cdots +a_{n} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}</math>.&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
 
Число <math>a_{n}</math> називається ''n-тим членом'', а число <math>S_{n}</math> — ''n-тою частковою сумою ряду'' (1). Якщо [[числова послідовність]] часткових сум <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math> збігається до деякого дійсного числа <math>S</math>, то числовий ряд (1) називається ''збіжним'', а число <math>S</math> — ''сумою'' цього ряду, позначається
 
<math>S = \sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}</math>.
<math>\vartriangleright</math> Доведення випливає з означень. <math>\vartriangleleft</math>
 
'''2.''' Нехай ряди
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}'</math> та <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}''</math>
 
збігаються до сум <math>S'</math> та <math>S''</math> відповідно. Тоді ряд
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}' + a_{n}'')</math>
 
збігається до суми <math>S' + S''</math>, тобто
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}' + a_{n}'') = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}' + \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}''</math>.
 
'''Означення.''' Для ряду
 
<math>a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} + \cdots</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
 
та числа <math>m \in \mathbb{N}</math> ряд
 
<math>a_{m+1} + a_{m+2} + \cdots + a_{n} + \cdots</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)
 
називається ''залишком вихідного ряду''. Якщо ряд (2) збігається, то <math>r_{m}</math> — сума залишку.
 
'''3.''' Якщо ряд (1) збігається до суми <math>S</math>, то збігається будь-який його залишок, причому
 
<math>\forall m \in \mathbb{N} \colon S = S_{m} + r_{m}</math>.
 
Якщо для деякого <math>n \in \mathbb{N}</math> збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.
 
'''4. Критерій Коші збіжності числового ряду.''' Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб
 
<math>\forall \varepsilon > 0 \; \exist N \in \mathbb{N} \; \forall n \geqslant n \; \forall p \in \mathbb{N} \colon \;</math>
<math>|a_{n+1} + a_{n+2} + \cdots + a_{n+p}| < \varepsilon</math>.
 
<math>\vartriangleright</math> Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності <math>\{S_{n} \colon n \geqslant 1\}</math>. <math>\vartriangleleft</math>
 
 
== Див. також ==
 
* [[Числові ряди з невід'ємними членами]];
* [[Числові ряди з довільними членами]].
 
== Література ==
58

редагувань