Числовий ряд

Означення

Нехай $\{a_{n}\colon n\geqslant 1\}$ — деяка послідовність дійсних чисел. Для кожного $n\in \mathbb {N}$ визначена скінченна сума цих елементів

$S_{n}:\,=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$.

Дві числові послідовності $\{a_{n}\colon n\geqslant 1\}$ та $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ називаються числовим рядом и позначаються

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.    (1)

Число $a_{n}$ називається n-тим членом, а число $S_{n}$ — n-тою частковою сумою ряду (1). Якщо числова послідовність часткових сум $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ збігається до деякого дійсного числа $S$, то числовий ряд (1) називається збіжним, а число $S$ — сумою цього ряду, позначається

$S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Якщо послідовність $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ скінченої границі не має, то числовий ряд (1) називається розбіжним.

Теорема 01

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то

$a_{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Дійсно, оскільки $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, $n\geqslant 2$ та $S_{n}\rightarrow S\in \mathbb {R}$, $n\rightarrow \infty$, то $a_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теорема 02

Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Розглянемо $a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови сбіжності ряду (1).

Приклад 01

Ряди

$1+1+1+\cdots +1+\cdots$,    (2)
$1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots$    (3)

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, $a_{n}=1\nrightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$ у випадку ряду (1) та $a_{n}=(-1)^{n+1}\nrightarrow 0$ у випадку ряду (2).

Література

• Дороговцев А. Я. Математический анализ: Справочное пособие. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.
• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.