Рівняння Абеля (функціональні)

Абелеві рівняння, назвали на честь Нільс Генрік Абель, є типом функціонального рівняння його можна записати у формі

$f(h(x))=h(x+1)$

або, еквівалентно,

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$

і контролює ітерацію   f.

Еквівалентність

Це рівняння еквівалентності. Припускаючи, що α є зворотньою функцією, друге рівняння можна записати як

$\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,.$

Беручи x = α⁻¹(y), рівняння можна записати як

$f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,.$

Якщо функція f(x) вважається відомою, завдання полягає у вирішенні функціонального рівняння для функції α⁻¹≡h,що, можливо, задовольняє додаткові вимоги, такі як α⁻¹(0) = 1.

Зміна змінних s^α(x) = Ψ(x), для реального параметра s,призводить рівняння Абеля до знаменитого Рівняння Шредера, Ψ(f(x)) = s Ψ(x) .

Подальша зміна F(x) = exp(s^α(x)) в рівнянні Бьоттчера, F(f(x)) = F(x)^s.

Рівняння Абеля є особливим випадком (і легко узагальнює) рівняння перекладу,

$\omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)~,$

e.g., for $\omega (x,1)=f(x)$,

$\omega (x,u)=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+u)$.     (Observe ω(x,0) = x.)