Розподіл Парето для втрат у страхуванні

Для правильного управління страховою компанією велике значення має інформація про загальний розмір вимог про виплату за певний період часу. Для правильних висновків потрібно сконцентрувати увагу на одній з складових загального розміру вимог про виплату — на розмірах окремих вимогах про виплату. Передбачається, що зазначені розміри окремих вимог описуються спеціальними розподілами. Існує багато розподілів, що застосовуються для опису втрат страховика. Одним з таких є розподіл Парето.

Визначення

Розподіл Парето в теорії імовірностей — це двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів.

Випадкова величина У має розподіл Парето з параметрами ${\lambda }>0$ і ${\alpha }>0$ , якщо її щільність задана як: $f_{Y}(x)={\frac {\alpha }{\lambda }}\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{(\alpha +1)}$

Функція розподілу в цьому випадку задана як: $F_{Y}(x)=1-\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{\alpha }$

Моменти

Середнє значення для випадкової величини, що має розподіл Парето, визначається як: $EY=\int _{0}^{\infty }{x}*{\frac {\alpha }{\lambda }}\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{(\alpha +1)}$ $dx={\frac {\lambda }{\alpha -1}}$

Для другого моменту маємо: $EY^{2}=\int _{0}^{\infty }{x^{2}}*{\frac {\alpha }{\lambda }}\left({\frac {\lambda }{\lambda +x}}\right)^{(\alpha +1)}$ $dx={\frac {2\lambda ^{2}}{(\alpha -1)(\alpha -2)}}$

Звідси одержуємо вираз для дисперсії: $VarY=EY^{2}-{(EY)^{2}}={\frac {\alpha \lambda ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}$

Як було зазначено, кінцевий середній розподіл Парето маємо тільки при ${\alpha }>1$ , а кінцеву дисперсію — при ${\alpha }>2$

Коефіцієнт варіації випадкової величини, що має розподіл Парето рівний $WY={\frac {\sigma {Y}}{EY}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\alpha -2}}}$

Використання у страхуванні

Можна зробити висновок, що коефіцієнт варіації завжди більше одиниці. Це свідчить про те, що характерна особливість розподілу Парето, а саме імовірність великих значень позовів, достатньо велика. Порівнюючи розподіл Парето ще з одним розподілом, таким як експоненціальний, можна зробити висновок що перший так як і другий асиметричний, проте «хвіст» у нього важчий, тобто імовірність великих розмірів відшкодувань більше, ніж при експоненціальному розподілі.

Приклад розрахунку

Для прикладу використаємо дані про розмір 96 окремих вимог про виплату, зроблених по деякому виду страхування.

Таблиця. Розмір окремих вимог про виплату(у.о)

24	26	73	84	102	115
132	159	207	240	241	254
268	272	282	300	302	329
346	359	367	375	378	384
452	475	495	503	531	543
563	594	609	671	687	691
716	757	821	829	885	893
966	1053	1081	1083	1150	1205
1262	1270	1351	1385	1498	1546
1565	1635	1671	1706	1820	1829
1855	1873	1914	2030	2066	2240
2413	2421	2521	2586	2727	2787
2850	2989	3110	3166	3383	3443
3512	3515	3531	4068	4527	5006
5065	5481	6046	7003	7245	7477
8738	9197	16370	17605	25318	58524

Розрахуємо деякі статистичні характеристики даної таблиці:

Середнє значення: ${\bar {x}}=2989$

Дисперсія: $\delta ^{2}={\bar {x^{2}}}-{\bar {x}}^{2}=46521900$

Для моделювання нам потрібно знайти оцінки параметрів ${\hat {\alpha }}$ та ${\hat {\lambda }}$ . Дані оцінки розподілу Парето з використанням методу моментів знаходяться із системи:

${\frac {\lambda }{\alpha -1}}=2989$

${\frac {\alpha \lambda ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}=46521900$

Розрахувати їх можна через "пошук рішення" в Excel.

В даному прикладі ${\hat {\alpha }}=2,48$ , а ${\hat {\lambda }}=4409$ .

Тоді функція розподілу матиме вигляд:

$F_{Y}(x)=1-\left({\frac {4409}{4409+x}}\right)^{2,48}$

Рис.1 Функція розподілу Парето в страхуванні

А щільність розподілу Парето буде задана як:

$f_{Y}(x)={\frac {2,48}{4409}}\left({\frac {4409}{4409+x}}\right)^{(2,48+1)}$

Рис.2 Щільність розподілу Парето в страхуванні

Див. також

Джерела

Козьменко О. В. Актуарні розрахунки: навчальний посібник/О. В. Козьменко.-Суми: Університетська книга,2011.-224с.
Мак Томас. Математика рискового страхования/Пер. с нем.-М.:ЗАО"Олимп-Бизнес",2005.-432с.