Принцип максимуму Понтрягіна

Принцип максимуму Понтрягіна — необхідна умова оптимальності в задачах теорії оптимального управління.

Нехай рух об'єкта описується системою диференціальних рівнянь

,

де х = (х1, …, хn) — векторна функція часу, яка описує траєкторію об'єкта,
u = (u1, …,um) — керування, яке вибирається в довільний момент часу і із заданої області U,
f (х, u) = (f1(x, u),..., fn(х, u)) — векторна функція х і u.
Розглядається задача вибору керування u = u (t) на відрізку [t0, t1] за умови мінімізації функціоналу

.

а також при фіксованих положеннях об'єкта в моменти t0 і t1.
Нехай u0 (t) — оптимальне керування, що розв'язує поставлену задачу, а х0(t) — відповідна траєкторія.
Тоді Принцип максимуму Понтрягіна стверджує, що за досить загальних умов необхідною умовою оптимальності керування u (t) є існування неперервних функцій φ0, φ1, …, φn(t), які на відрізку [t0, t1] задовольняють систему диференціальних рівнянь


і таких, що лінійна форма


при будь-яких t з відрізка [t0, t1] досягає максимуму по u при u = u0 (t).
Принцип максимуму Понтрягіна служить відправною точкою розв'язування багатьох теоретичних задач оптимального управління і розробки відповідних обчислювальних методів.

ВикористанняРедагувати

При вирішенні варіаційних задач класичними методами труднощі виникають у тих випадках, коли відшукувані управляючі дії не належать до класу безперервних функцій або коли на змінні задачі накладені обмеження типу нерівностей. Такого роду завдання носять назву завдань про швидкодію і вирішення їх можна отримати, використовуючи принцип максимуму Понтрягіна.

У вирішенні завдань ракетодинаміки зі складними обмеженнями принцип максимуму Понтрягіна завоював особливу популярність, з чим пов'язаний великий прогрес, досягнутий у всьому світі при вирішенні практичних завдань ракетодинаміки.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати