Потік середньої кривини

Потік середньої кривини — визначений процес деформації гіперповерхонь в римановом многовиді, зокрема для поверхонь в 3-вимірному евклідовому просторі.

Потік деформує поверхню в нормальному напрямку зі швидкістю, що дорівнює її середній кривині. Наприклад, сфера під дією потоку стискається в точку.

Рівнення

Однопараметричне сімейство поверхонь $f_{t}\colon S\hookrightarrow M$ є потоком середньої кривини, якщо

${\frac {\partial f_{t}(x)}{\partial t}}=H_{t}(x)\cdot n(x),$

де $H_{t}(x)$ і $n(x)$ позначають середню кривину і одиничний вектор нормалі до поверхні $f_{t}(S)$ в точці $f_{t}(x)$.

Властивості

• Рівняння потоку є параболічним диференціальним рівнянням в частинних похідних.
  • Зокрема, це гарантує існування розв'язку для малих значень тимчасового параметра.
• Мінімальні поверхні є критичними точками для потоку середньої кривини.
• Зазвичай потік середньої кривизни формує особливість за скінченний час, починаючи з якої потік перестає бути визначений.
• Формула монотонності Г'юскена
• Під дією потоку замкнута опукла гіперповерхня в евклідовому просторі залишається опуклою. Більш того, вона переходить в точку за скінченний час, і безпосередньо до цього моменту поверхня наближається до стандартної сфері з точністю до зміни масштабу.

Див. також

• Вкорочувальний потік

Джерела

• Ecker, Klaus (2004), Regularity Theory for Mean Curvature Flow, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, т. 57, Boston, MA: Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-8210-1, ISBN 0-8176-3243-3, MR 2024995.
• Mantegazza, Carlo (2011), Lecture Notes on Mean Curvature Flow, Progress in Mathematics, т. 290, Basel: Birkhäuser/Springer, doi:10.1007/978-3-0348-0145-4, ISBN 978-3-0348-0144-7, MR 2815949.