Подвійне число Мерсенна

У математиці подвійне число Мерсенна — це число Мерсенна у формі

M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1

де p є простим.

Приклади ред.

Перші чотири члени послідовності подвійних чисел Мерсенна є^[1] (послідовність A077586 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

Подвійні прості числа Мерсенна ред.

Подвійне число Мерсенна, яке є простим, називається подвійним простим числом. Оскільки число Мерсенна M_p може бути простим, лише якщо p є простим (див. просте число Мерсенна^[en] для доказу), подвійне число Мерсенна Число $M_{M_{p}}$ може бути простим, лише якщо M_p саме по собі є простим числом Мерсенна. Для перших значень p, для яких M_p є простим, $M_{M_{p}}$ , як відомо, просте для p = 2, 3, 5, 7, тоді як явні дільники $M_{M_{p}}$ були знайдені для p = 13, 17, 19 та 31

$p$	$M_{p}=2^{p}-1$	$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$	Розклад $M_{M_{p}}$
2	3	просте	7
3	7	просте	127
5	31	просте	2147483647
7	127	просте	170141183460469231731687303715884105727
11	не просте	не просте	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × …
13	8191	не просте	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × …
17	131071	не просте	231733529 × 64296354767 × …
19	524287	не просте	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × …
23	не просте	не просте	2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × …
29	не просте	не просте	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × …
31	2147483647	не просте	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × …
37	не просте	не просте
41	не просте	не просте
43	не просте	не просте
47	не просте	не просте
53	не просте	не просте
59	не просте	не просте
61	2305843009213693951	невідомо

Таким чином, найменшим кандидатом на наступне подвійне просте число Мерсенна є $M_{M_{61}}$ , або 2^{2305843009213693951} − 1. Будучи приблизно 1,695× 10^{694127911065419641}, це число занадто велике для будь-якого відомого на даний момент теста простоти. У нього немає основного дільника нижче 4 × 10³³.^[2] Є імовірність, що немає інших подвійних простих чисел Мерсенна, крім чотирьох відомих.^[1]^[3]

Найменшими простими множниками $M_{M_{p}}$ (де p є n-им простим) є :7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, … (наступний терм > 4 × 10³³) (послідовність A309130 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

Гіпотеза про число Каталана–Мерсенна ред.

Рекурсивно визначена послідовність

c_{0}=2

c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}

називається послідовністю чисел Каталана-Мерсенна.^[4] Першими членами послідовності є (послідовність A007013 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

c_{0}=2

c_{1}=2^{2}-1=3

c_{2}=2^{3}-1=7

c_{3}=2^{7}-1=127

c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727

c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.454\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.7094}}

Ежен Шарль Каталан^[en] відкрив цю послідовність після відкриття простоти $M_{127}=c_{4}$ Едуаром Люка у 1876.^[1]^[5] Каталан припустив, що вони є простими «до певної межі». Хоча перші п'ять членів є простими, жодні відомі методи не можуть довести, що будь-які подальші члени є простими (у будь-який розумний час) просто тому, що вони занадто великі. Однак, якщо $c_{5}$ не є простим, є шанс виявити це, обчисливши $c_{5}$ за невеликим простим модулем $p$ (з використанням рекурсивного піднесення до степеня по модулю^[en]). Якщо отриманий залишок дорівнює нулю, $p$ представляє дільник $c_{5}$ і, це таким чином, спростує його простоту. Оскільки $c_{5}$ є числом Мерсенна, такий простий множник $p$ мав би мати вигляд $2kc_{4}+1$ . Крім того, оскільки $2^{n}-1$ є складеним, коли $n$ є складеним, виявлення складеного члена в послідовності виключає можливість будь-яких інших простих чисел в послідовності.

У масовій культурі ред.

У фільмі Futurama Звір з мільярдом спин, подвійне число Мерсенна $M_{M_{7}}$ коротко видно у «елементарному доказі гіпотези Гольдбаха ». У фільмі це число відоме як «марсіанське просте».

Див. також ред.

Примітки ред.

↑ ^а ^б ^в Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
↑ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 [Архівовано 15 лютого 2009 у Wayback Machine.]. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(2⁶¹ − 1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.
↑ I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
↑ Weisstein, Eric W. Catalan-Mersenne Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
↑ Questions proposées. Nouvelle correspondance mathématique. 2: 94—96. 1876. (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:
Prouver que 2⁶¹ − 1 et 2¹²⁷ − 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*).
The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows:
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² − 1, 2³ − 1, 2⁷ − 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ − 1 est un nombre premier p, 2^p − 1 est un nombre premier p', 2^p' − 1 est un nombre premier p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est un nombre premier. (E. C.)

Джерела ред.

Dickson, L. E. (1971) [1919], History of the Theory of Numbers, New York: Chelsea Publishing
Weisstein, Eric W. Double Mersenne Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Tony Forbes, A search for a factor of MM61.
Status of the factorization of double Mersenne numbers
Double Mersennes Prime Search
Operazione Doppi Mersennes

[Caldwell-1] а ^б ^в Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.

[2] Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008 [Архівовано 15 лютого 2009 у Wayback Machine.]. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(2⁶¹ − 1), above 4×10³³. Retrieved on 2008-10-22.

[3] I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]

[4] Weisstein, Eric W. Catalan-Mersenne Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[5] Questions proposées. Nouvelle correspondance mathématique. 2: 94—96. 1876. (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:
Prouver que 2⁶¹ − 1 et 2¹²⁷ − 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*).
The footnote (indicated by the star) written by the editor Eugène Catalan, is as follows:
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2² − 1, 2³ − 1, 2⁷ − 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une certaine limite, si 2ⁿ − 1 est un nombre premier p, 2^p − 1 est un nombre premier p', 2^p' − 1 est un nombre premier p", etc. Cette proposition a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2ⁿ + 1 est un nombre premier. (E. C.)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]