Перетворення трикутник-зірка

Перетворення трикутник-зірка — спосіб еквівалентного перетворення пасивної ділянки лінійного електричного кола — «трикутника» (з'єднання трьох гілок, яке має вигляд трикутника, сторонами якого є гілки, а вершинами — вузли), в «зірку» (поєднання трьох гілок, які мають один загальний вузол). Еквівалентність «трикутника» і «зірки» обумовлена тим, що це перетворення ніяк не впливає на струми та напруги в інших, тобто непереворюваних, частинах електричного кола.

Подальші міркування наводяться для резисторів, але можуть бути застосовані й для інших пасивних елементів.

Пряме перетворення

Трикутник

Зірка

Розглянемо наведені справа схеми щодо вузлів 1 та 2.

У схемі «трикутник» резистор $R_{12}$ з'єднаний паралельно з послідовно з'єднаними резисторами $R_{13}$ і $R_{23}$, що відповідає послідовно з'єднаним опорам $R_{1}$ і $R_{2}$ в схемі «зірка». Звідси випливає, що:

$R_{1}+R_{2}={\frac {R_{12}\cdot (R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

Аналогічно для інших пар вузлів:

$R_{1}+R_{3}={\frac {R_{13}\cdot (R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

$R_{2}+R_{3}={\frac {R_{23}\cdot (R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

Розв'язуючи подану систему рівнянь щодо опорів $R_{1}$, $R_{2}$ і $R_{3}$, отримуємо:

$R_{1}={\frac {R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

$R_{2}={\frac {R_{12}\cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

$R_{3}={\frac {R_{23}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

Зворотне перетворення

Розв'язавши початкову систему рівнянь щодо опорів $R_{12}$, $R_{13}$ і $R_{23}$ отримаємо формули для зворотного перетворення, з «зірки» в «трикутник»:

$R_{12}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{3}}}$

$R_{13}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}\cdot R_{3}}{R_{2}}}$

$R_{23}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}$

Застосування

Резисторний міст

Перетворення трикутник-зірка може бути корисним для розрахунку опору резисторного моста при умові:

${\frac {R_{1}}{R_{2}}}\neq {\frac {R_{4}}{R_{3}}}$

Якщо ж вище наведена рівність справедлива, то схема набуває симетрії — для її розрахунку достатньо стандартних методів (послідовне й паралельне з'єднання).