- Для нерівності в теорії ймовірностей — див. Нерівність Чебишова.
Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо
![{\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffca8c5f7b963c7f2901053c2ee96c422435b7d)
і
![{\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a325437a7f815e64a1014bad880d1837096130c)
то
![{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d702215343d4051444679f90c612746a45597750)
Аналогічно, якщо
![{\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ffca8c5f7b963c7f2901053c2ee96c422435b7d)
і
![{\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \cdots \leqslant b_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2528d5452a070167c689ad65bb9650e18fd256ad)
то
![{\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4776379a3582d565d4622e782b82809a0f730d8)
Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:
Припустимо, що
-
і
-
Зважаючи на нерівність перестановок вираз
-
є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності
-
-
-
-
-
одержуємо
-
або, розділивши на :
-
Існує також неперервний аналог нерівності Чебишова:
Якщо f(x) і g(x) — дійсні інтегровні на [0,1] функції, одночасно зростаючі чи спадні, то
-