В обробці зображень, комп'ютерному зорі та суміжних областях, під моментами зображення розуміються деякі часткові зважені середні інтенсивностей пікселів зображення, які є глобальними дескрипторами зображення. Моменти зображення корисні для опису об'єктів після сегментації.
Для 2D неперервної функції геометричним моментом порядку (p + q) називається вираз
для p,q = 0,1,2,...
Для диcкреnного напівтонового зображення з інтенсивністю пікселів та розміру , геометричні моменти обчислюються за формулою
Теорема єдиності (Hu [1962]) стверджує, що коли f(x,y) є кусково-неперервною функцією яка приймає ненульові значення в скінченній області площини Oxy, то моменти всіх порядків існують і однозначно визначаються функцією . Навпаки, функція однозначно відновлюється з її моментів .
Інформація про орієнтацію зображення може бути отримана з коваріаційної матриці побудованої з центральних моментів:
Коваріаційна матриця зображення має вигляд
.
Власні вектори цієї матриці відповідають головній і побічній осям інтенсивності зображення, тому орієнтація може бути отримана з кута власного вектора асоційованого з найбільшим власним значенням у напрямку осі яка найближча до цього власного вектора. Цей кут Θ обчислюється за такою формулою:
Моменти добре відомі своїм застосуванням в аналізі зображень, оскільки їх можна використовувати для отримання інваріантів щодо конкретних класів перетворень.
Зауважимо, що детально описані нижче інваріанти є точними інваріантними лише для неперервних зображень. У дискретному випадку ні масштабування, ні повороти не визначені коректно: дискретне зображення, перетворене таким чином, як правило, є наближенням, і задіяні перетворення не є оборотним. Тому ці інваріанти є лише приблизно інваріантними при описі фігури в дискретному зображенні.
Інваріанти відносно як паралельних переносів так і рівномірних розтягів можуть бути побудовані з центральних моментів шляхом ділення на підходящу степінь нульового центрального моменту:
Як показано в статті Hu,[1][2]
інваріанти відносно паралельних переносів, масштабування і поворотів мають вигляд
Ці інваріанти добре відомі як інваріантні моменти Hu.
Перший з них I1, є аналогом моменту інерції відносно центроїда зображення. Останній I7 називається косим інваріантом, який дає змогу розрізняти дзеркальні зображення. Ці інваріанти залежні між собою.
Повна і незалежна множина інваріантів групи повороту вперше побудована
в J. Flusser.[3] Також він довів, що моменти Hu не є повною множиною інваріантів до третього порядку і вони не є незалежними. I3 не дуже корисний оскільки є раціональним дробом від інших інваріантів. Також в оригінальні статті Hu пропущено незалежний інваріант :
Л. Бедратюк [4] розглянув питання побудови моментних інваріантів як задачу класичної теорії інваріантів. В статті було введено поняття алгебри 2D моментних інваріантів і показано що ця алгебра ізоморфна класичному об'єкту -- алгебрі спільних -інваріантів кількох бінарних форм. Також було обчислено мінімальну породжуючу систему алгебри моментних інваріантів і підтверджено результати статті