Модель Ходжкіна — Хакслі

(Перенаправлено з Модель Ходжкіна-Хакслі)

Модель Ходжкіна — Хакслі[1][2], або модель Годжкіна — Гакслі[3]  — математична модель, яка описує генерацію та розповсюдження потенціалів дії в нейронах та інших електрично збуджуваних клітинах — таких, наприклад, як серцеві міоцити. Модель являє собою комплекс ординарних диференційних рівнянь, який змальовує характеристики електричного сигналу.

Основні компоненти моделі Годжкіна — Гакслі. Пояснення щодо позначень дивись у тексті.

Модель була розроблена Аланом Годжкіном та Ендрю Гакслі в 1952 році для опису електричних механізмів, що зумовлюють генерацію та передачу нервового сигналу в гігантському аксоні кальмара[4]. За це автори моделі отримали Нобелівську премію в галузі фізіології та медицини за 1963 рік.

Основні компоненти

ред.

Компоненти електричної схеми, що відповідає моделі Годжкіна — Гакслі, зображені на малюнку. В даній схемі кожний компонент збуджуваної клітини має свій біофізичний аналог. Подвійному ліпідному шару клітинної мембрани відповідає електроємність (Сm). Потенціалзалежні іонні канали відповідають нелінійній електричній провідності (gn, де n — окремий вид іонних каналів); це означає, що провідність є потенціал- та час-залежною величиною. Ця складова системи, як було показано дослідниками пізніше, реалізується завдяки білковим молекулам, що утворюють потенціалзалежні іонні канали, кожному з яких притаманна деяка ймовірність відкриття, величина якої залежить від електричного потенціалу (або електричної напруги) клітинної мембрани. Канали мембранних пор відповідають пасивній провідності (gL, де індекс L означає англ. Leak, «виток»). Електрохімічний градієнт, що спонукає іони до руху крізь мембранні канали, показаний за допомогою акумуляторів з відповідною електрорушійною силою (En та EL), величина якої визначається рівнянням Нернста для відповідного виду іона. Іонні транспортери відповідають джерелам струму (Ip).

Похідна по часу від мембранного потенціалу клітинної мембрани ( ) при описаних умовах пропорційна сумі струмів в повному електричному ланцюгу. Вона описується наступним рівнянням:

 

де Іі означає величину електричного струму, що генерується окремим видом іонів.

Характеристики іонного струму

ред.

Електричний струм, що проходить через іонні канали, може бути математично виражений наступним рівнянням:

 

де Еі — рівноважний потенціал і-го іонного каналу. У випадку потенціал-залежних іонних каналів канальна провідність gі є функцією часу та потенціалу (електричної напруги) — gn(t, V) на малюнку, в той час як пасивна провідність є величиною сталою (gL на малюнку). Струм, генерований іонними транспортерами, залежить від виду іонів, що його переносить відповідний транспортер. Нижче наведено докладніший опис перерахованих величин:

Потенціал-залежні іонні канали

ред.

В термінах моделі Годжкіна — Гакслі провідність потенціал-залежних каналів (gn(t, V)) описується таким чином:

 
 
 

де   та   є константами швидкості реакцій закриття та відкриття каналів, відповідно. Вони чисельно дорівнюють частці від максимальної можливої провідності через даний вид каналів, що наявна в кожний момент часу при кожній величині мембранного потенціалу.   є максимальним можливим значенням провідності.   та   — константи,  φ та  χ — часові константи процесів активації та деактивації каналів, відповідно.   та   є стабілізованими значеннями   та   при величині часу, що прямує до нескінченності, і звичайно розраховуються з рівняння Больцмана як функція Vm.

Для характеристики іонних каналів, останні два рівняння модифікуються для умов, коли на мембрані підтримується стала величина електричного потенціалу — модифікація рівнянь Годжкіна — Гакслі, що була запропонована Марквардтом[en][5]. Коли мембранний електричний потенціал підтримується на сталому рівні (voltage-clamp), для кожного значення цього потенціалу нелінійні рівняння, що описують пропуск іонів крізь канали, редукуються до лінійних диференційних рівнянь наступної форми:

 
 

Таким чином, для кожного значення мембранного потенціалу Vm, величина електричного струму описується наступним рівнянням:

 

Для апроксимації кривих, що їх генерують дані рівняння, до значень клітинних струмів при фіксованому значенні мембранного потенціалу використовується алгоритм Левенберґа — Марквардта[6][7], що є модифікованим алгоритмом Ґаусса — Ньютона[en].

Пасивні канали

ред.

Пасивні канали відповідають за проникність мембрани для іонів в спокійному стані (не під час проведення потенціалу дії), і струм через них описується тими самими рівняннями, що і для потенціал-залежних каналів, але при умові сталої величини провідності gi (gi=const).

Іонні транспортери

ред.
Докладніше: Йонна помпа

Мембранний електричний потенціал генерується за допомогою підтримання концентраційних градієнтів іонів, присутніх у фізіологічних рідинах організму, відносно клітинної мембрани. Найважливішими з білків-транспортерів, що підтримують мембранний потенціал, є натрієво-кальцієвий (транспортує один іон Са2+ всередину клітини в обмін на 3 іони Na+, що транспортуються назовні), натрієво-калієвий (транспортує три іони Na+ назовні в обмін на два іони К+ всередину), та хлорний (транспортує з клітини назовні іони Cl-)[8][9].

Модифікації та альтернативні моделі

ред.

Модель Годжкіна — Гакслі є одним з найвизначніших досягнень в біофізиці та нейрофізіології 20-го століття.[джерело?] З часом вона була модифікована в наступних напрямках:

  • Базуючись на експериментальних даних, в неї були інкорпоровані додаткові види іонних каналів та транспортерів.
  • Базуючись на даних мікроскопії високої роздільної здатності, в рівняння додані елементи, що характеризують складну морфологію відростків нервових клітин (аксонів та дендритів).

Також на загальних принципах моделі Годжкіна — Гакслі були розроблені кілька моделей, що описують взаємну активацію та деактивацію в нейронних мережах, а також молекулярну динаміку генерації потенціалу дії.[джерело?]

Примітки

ред.
  1. Костюк П.Г., Зима В.Л., Магура І.С., Мірошниченко М.С. & Шуба М.Ф (2001). Біофізика. Київ: Обереги. с. 287—289. ISBN 966-513-021-8.[недоступне посилання з липня 2019]
  2. Ю. М. Романишин, С. Р. Петрицька. Ряди Вольтерри для моделей Ходжкіна–Хакслі та ФітцХ’ю-Нагумо нейрона // Вісник Національного університету "Львівська політехніка". Серія: Радіоелектроніка та телекомунікації : збірник наукових праць. — 2016. — Т. 849. Архівовано з джерела 29 січня 2019. Процитовано 29 січня 2019.
  3. Заряєв Д. В. магістрант, Шамровський О. Д., д.т.н., професор, науковий керівник. МОДЕЛЮВАННЯ ПОВЕДІНКИ ЗА ДОПОМОГОЮ СПАЙКОВИХ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ТА НАВЧАННЯ З ПІДКРІПЛЕННЯМ (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 27 січня 2019. Процитовано 27 січня 2019.
  4. Hodgkin, A., and Huxley, A. (1952): A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol. 117:500-544.
  5. Marquardt, D. (1963): An algorithm for the least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM J. Appl. Math. 11 (2):431-441.
  6. Levenberg, K. (1944): A method for the solution of certain non-linear problems in least-squares. Q. Appl. Math. 2 (2):164-168.
  7. Johnston, D., and Wu, S. (1997): Foundations of Cellular Neurophysiology, chapter 6. MIT Press, Cambridge, MA. ISBN 0-262-10053-3.
  8. Hille, B. (2001): Ionic Channels of Excitable Membranes (3rd ed.). Sinauer Associates, Inc., Sunderland, MA. ISBN 0-87893-321-2
  9. Encyclopedia of Neuroscience — 3rd edition. Elsevier Science, 2004. ISBN 0-444-51432-5

Посилання

ред.