Модель Мертона оцінки вартості опціонів

Модель Мертона оцінки вартості опціонів є узагальненням формули Блека-Шоулза для оцінки вартості Європейських опціонів на акції чи індекси акцій які виплачують відомий потік дивідендів. Потік має бути виражений у вигляді річної неперервної ставки $q$.

Формула

Вартість кол-опціону, $C(S,T-t)$, чи опціону пут $P(S,T-t)$ обчислюється за формулою:

$C(S,T-t)=S~e^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})-\Phi (d_{2})~Ke^{-r(T-t)}\,$

$P(S,T-t)=\Phi (d_{2})~Ke^{-r(T-t)}-S~e^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})\,$

де

$d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{K}})+(r-q+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$d_{2}={\frac {\ln({\frac {S}{K}})+(r-q-{\frac {\sigma ^{2}}{2}})(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}.$

Тут, log позначає натуральний логарифм, a: $S$ - це ціна базової акції; $K$ - ціна виконання; $r$ - неперервна безризикова відсоткова ставка; $q$ - неперервна річна дивідендна ставка; $T-t$ - час до виконання (в роках); $\sigma$ - волатильність базової акції; $\Phi$ - функція розподілу стандартної нормальної випадкової величини.

Греки

Грецькі показники — дельта ($\Delta$), гамма($\Gamma$), вега ($\nu$), тета ($\Theta$) і ро ($\mathrm {P}$) для кол-опціону знаходяться за формулою:

$\Delta =e^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})$

$\Gamma ={\frac {\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$\nu =Se^{-q(T-t)}N(d_{1}){\sqrt {T-t}}$

$\Theta =-{\frac {S\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+qSe^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})-rKe^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})$

$\mathrm {P} =K(T-t)e^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})$

де $\varphi$ позначає щільність нормального розподілу. Греки для опціону пут обчислюються:

$\Delta =e^{-q(T-t)}(\Phi (d_{1})-1)$

$\Gamma ={\frac {\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}}$

$\nu =Se^{-q(T-t)}N(d_{1}){\sqrt {T-t}}$

$\Theta =-{\frac {S\varphi (d_{1})e^{-q(T-t)}\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+qSe^{-q(T-t)}\Phi (d_{1})-rKe^{-r(T-t)}\Phi (d_{2})$

$\mathrm {P} =-K(T-t)e^{-r(T-t)}\Phi (-d_{2})$

Недоліки формули Мертона

Недоліком формули Мертона є припущення, що дивіденди виплачуються неперервно. Для фондового індексу, це недосконале, але зазвичай розумне припущення. А для звичайних акцій, які зазвичай виплачують дивіденди два рази на рік, це припущення далеке від дійсності. Річна прибутковість акції не має значення. Величина $q$ повинна відображати потік дивідендів, які мають бути здійснені до кінця терміну дії опціону. Якщо дивіденди за акцією не виплачуються до закінчення терміну дії опціону, то $q=0$. В іншому випадку можна обчислити дивідендну прибутковість акції до закінчення терміну дії і перераховувати відповідну річну прибутковість.

Ще однією проблемою є той факт, що модель припускає, що дивідендна прибутковість є відомою і незмінною до закінчення терміну дії опціону. Насправді час виплати дивідендів протягом терміну дії може бути відомим, але сума платежу наперед не відома.

Див. також

• Модель Блека-Шоулза

Посилання

• Merton (1973) Option Pricing Formula. Архів оригіналу за 21 липня 2013. Процитовано 8 березня 2012.

Джерела

• Merton, Robert C. (1973). Theory of rational option pricing, Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (1), 141-183. (англ.)