Метод прямокутників

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.

Види формули прямокутників

Формула лівих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції на початку проміжку:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left(a\right).$

Похибка обчислення рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b]$

Формула правих прямокутників

У цьому випадку береться значення функції в кінці проміжку:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left(b\right).$

Як і в попередньому випадку похибка обчислень рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{2}}{2}}f'(\eta ),\quad \eta \in [a,b]$

Формула центральних прямокутників

Ця формула має вид:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=(b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right).$

Похибка обчислень рівна: $E(f)={\frac {(b-a)^{3}}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]\,$

Великі формули прямокутників

Для збільшення точності обчислень проміжок інтегрування розбивається на дрібніші проміжки до кожного з яких застосовується формула прямокутників. Загалом кількість проміжків розбиття рівна n і Δ = (b − a) / n то велика формула прямокутників має вигляд:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta )\Delta$

де $i'$ може бути рівним $i-1$, $i$ чи $i-1/2,$ що відповідає формулам лівих, правих і центральних прямокутників.

• 
  Метод центральних прямокутників

Похибка великої формули центральних прямокутників задовольняє нерівність:

$E(f)\leq {\frac {\Delta ^{2}(b-a)}{24}}f''(\eta ),\quad \eta \in [a,b]\,$

Див. також

• Метод трапецій
• Метод Сімпсона

Література

• Формула прямокутників // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 448. — 594 с.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)