Метод матриць переходу

Метод матриць переходу — метод розрахунку проходження хвиль через багатошарові середовища, що дозволяє, зокрема, звести обчислення коефіцієнтів проходження та відбиття до простого множення матриць. Метод застосовується в оптиці, акустиці, квантовій механіці, при аналізі розсіяння нейтронів тощо. Наприклад, в оптиці його можна використати для розрахунків просвітленої оптики та діелектричних дзеркал.

Проходження променів через шар

Формулювання

В межах окремого шару багатошарової структури розв'язок хвильового рівняння можна записати у вигляді суперпозиції хвиль, що розповсюджуються в різні сторони

$\psi (z)=a_{n}e^{ik_{n}z}+b_{n}e^{-ik_{n}z}\,$,

де $a_{n}$ та $b_{n}$ — невідомі коефіцієнти, що визначаються з граничних умов, а $k_{n}$ — хвильове число.

Нехай граничні умови на межі між шаром n та шаром n+1 для функції $\psi (z)$ є неперервність самої функції та її похідної:

$\left\{{\begin{array}{lcl}a_{n}e^{ik_{n}d_{n}}+b_{n}e^{-ik_{n}d_{n}}&=&a_{n+1}+b_{n+1}\,\\ik_{n}a_{n}e^{ik_{n}d_{n}}-ik_{n}b_{n}e^{-ik_{n}d_{n}}&=&ik_{n+1}a_{n+1}-ik_{n+1}b_{n+1}.\end{array}}\right.$

Тут $d_{n}$ — ширина n-го шару.

Вводячи вектор

$\phi _{n}=({\begin{array}{cc}a_{n}&b_{n}\end{array}})$,

ці граничні умови можна записати

$L_{n}S_{n}\phi _{n}^{T}=L_{n+1}\phi _{n+1}^{T},$

де

$S_{n}=\left({\begin{array}{cc}e^{ik_{n}d_{n}}&0\\0&e^{-ik_{n}d_{n}}\end{array}}\right)$

$L_{n}=\left({\begin{array}{cc}1&1\\ik_{n}&-ik_{n}\end{array}}\right)$

Тоді

$L_{n}\phi _{n}^{T}=L_{n}S_{n}^{-1}L_{n}^{-1}L_{n+1}\phi _{n+1}^{T}=M_{n}L_{n+1}\phi _{n+1}^{T}.$

Усі властивості n-го шару (хвильове число, що визначається законом дисперсії для хвилі в шарі та товщина шару) зосереджені в матриці $M_{n}$, яку називають матрицею переходу, матрицею трансляції, трансфер-матрицею.

Для розглянутої задачі трансфер-матриця дорівнює

$M_{n}=L_{n}S_{n}^{-1}L_{n}^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\cos k_{n}d_{n}&-{\frac {1}{k_{n}}}\sin k_{n}d_{n}\\k_{n}\sin k_{n}d_{n}&\cos k_{n}d_{n}\end{array}}\right).$

Трансфер-матриця багатошарової системи визначається добутком матриць переносу окремих шарів:

$M=\prod _{n=1}^{n}M_{n}.$

Для визначення амплітуд відбитої хвилі та хвилі, що пройшла через систему, можна записати

$L_{L}\phi _{L}^{T}=ML_{R}\phi _{R}^{T},$

де індекси L та R позначають крайнє ліве напівнескінченне середовище, з якого хвиля надходить, та крайнє праве напівнескінченне середовище, куди хвиля проходить. Відповідно,

$\phi _{L}^{T}=\left({\begin{array}{c}1\\r\end{array}}\right),\qquad \phi _{R}^{T}=\left({\begin{array}{c}t\\0\end{array}}\right).$

Отже,

$\left({\begin{array}{c}1\\r\end{array}}\right)=L_{L}^{-1}ML_{R}\left({\begin{array}{c}t\\0\end{array}}\right)=M^{tot}\left({\begin{array}{c}t\\0\end{array}}\right).$

Звідси, амплітуда хвилі, що пройшла через багатошарову систему, дорівнює

$t=1/M_{11}^{tot}$,

а амплітуда відбитої хвилі

$r=M_{21}^{tot}/M_{11}^{tot}.$

Коефіцієнти проходження та відбиття визначаються квадратами модулів цих величин

$T=|t|^{2},\qquad R=|r|^{2}.$

В загальному випадку матеріали шарів можуть поглинати хвилі, і тоді хвильові числа — комплексні. Це не обмежує використання методу. Коефіцієнт поглинання дорівнює:

$A=1-R-T.$

Оптика

В оптиці вирази для трансфер матриці шару мають різний вигляд у залежності від поляризації електромагнітної хвилі. При нормальному падінні світла на межу розділу електромагнітна хвиля має s-поляризацію. Тоді хвильові числа визначаються законом дисперсії

$k_{n}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon _{n},$

де $\omega$ — циклічна частота, $c$ — швидкість світла, а $\varepsilon _{n}$ — діелектрична проникність шару. Граничними умовами для s-поляризації є неперервність тангенціальної компоненти напруженості електричного поля хвилі та нормальної компоненти вектора магнітної індукції, що пропорційний похідній від танггенціальної компоненти напруженості електричного поля, а тому матриці переходу мають вигляд, аналогічний викладеному в попередньому параграфі.

При похилому падінні крім s-поляризації існує ще p-поляризація. Ці два випадки вимагають окремого розгляду. Для обох поляризацій хвильове число визначається як

$k_{n}^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon _{n}-q^{2},$

де ${\mathbf {q} }$ - однакова для всіх шарів компонента хвильового вектора, паралельна поверхні розділу.

Для p-поляризації граничними умовами є неперервність тангенціальної компоненти напруженості магнітного поля хвилі та нормальної компоненти вектора електричної індукції, тому в граничні умови входять діелектричні проникності шарів.

Матриця $L_{n}$ набирає вигляду:

$L_{n}=\left({\begin{array}{cc}\varepsilon _{n}&\varepsilon _{n}\\ik_{n}&-ik_{n}\end{array}}\right),$

а трансфер-матриця шару:

$M_{n}=L_{n}S_{n}^{-1}L_{n}^{-1}=\left({\begin{array}{cc}\cos k_{n}d_{n}&-{\frac {\varepsilon _{n}}{k_{n}}}\sin k_{n}d_{n}\\{\frac {k_{n}}{\varepsilon _{n}}}\sin k_{n}d_{n}&\cos k_{n}d_{n}\end{array}}\right).$