Ланцюги Маркова з неперервним часом

У теорії ймовірностей ланцюгом Маркова з неперервним часом називається випадковий процес { X(t) : t ≥ 0 } визначений у неперервному часовому проміжку, що приймає значення у деякій скінченній чи зліченній множині і задовольняє властивість Маркова. Відмінність цього виду ланцюгів Маркова від дискретних ланцюгів Маркова полягає в тому, що переходи між станами можуть відбуватися в будь-які моменти часу і час наступного переходу теж є випадковою величиною.


Формальне означення

ред.

Випадковий процес  , що приймає значення в деякій скінченній чи зліченній множині називається ланцюгом Маркова (з неперервним часом), якщо

 .

Ланцюг Маркова з неперервним часом називається однорідним якщо:

 .

Матриця перехідних функцій і рівняння Колмогорова — Чепмена

ред.

Як і у дискретному випадку Ланцюги Маркова з неперервним часом повністю визначаються заданням початкового розподілу

 

іматрицею перехідних функцій (перехідних ймовірностей)

 .

Матриця перехідних ймовірностей задовільняє рівнянню Колмогорова — Чепмена:   або

 .

Матриця інтенсивностей

ред.

За визначенням , матриця інтенсивностей  

чи еквівалентно:

 .

Із рівняння Колмогорова-Чепмена випливають:

  • Пряме рівняння Колмогорова
     
  • Обернене рівняння Колмогорова
     

Для обох рівнянь початковим наближенням є  . Відповідний розв'язок рівний:  

Див. також

ред.


Література

ред.