Кінематичні змінні Мандельштама

Кінематичні змінні Мандельштама — три скалярні релятивістські інваріантні величини, що зберігаються в процесі розсіяння двох елементарних частинок з утворенням двох нових або збереженням двох старих елементарних частинок, або в процесі розпаду однієї елементарної частинки на три. Зазвичай ці змнні позначаються як $s,t,u$. Їх було введено Стенлі Мандельштамом у 1958 році. Процес розсіяння можна повністю описати, якщо задати значення лише двох змінних Мандельштама, кожна із них дорівнюватиме квадрату повної енергії котроїсь із пар частинок у системі відліку, де їх центр мас перебуває в спокої.

На цій діаграмі, дві частинки рухаються із імпульсами p₁ і p₂, після взаємодії (розсіяння) розлітаються дві частинки з іншими імпульсами (p₃ і p₄).

Визначення

Розглядається процес розсіяння двох елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу $p_{1},p_{2}$  і утворенням після взаємодії двох нових чи збереження двох старих елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу $p_{3},p_{4}$. Залежність між енергією і масою мають вигляд:

$\!p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2}$,

де $g_{\mu \nu }$ — метричний тензор.

У метриці Мінковського з сигнатурою (1, -1,-1,-1)

$m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-\mathbf {p} _{i}^{2}c^{2}$,

або ж в релятивістських одиницях $(c=1)$:

$m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-\mathbf {p} _{i}^{2}$.

Тут $\mathbf {p} _{i}$ — тривимірний імппульс i-тої частинки.

Тут $i=1,2,3,4$ — індекс елементарної частинки. Збереження кожної компоненти енергії-імпульсу представляється рівнянням: $p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}$. Із цієї рівності можна отримати три змінних Мандельштама в релятивістських одиницях:

• $s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2}\,$
• $t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2}\,$
• $u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2}\,$

Властивості

Змінні Мандельштама пов'язані рівністю:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}$.  

Для доведення використаємо дві інші рівності:

• Квадрати 4-імпульсів дорівнюють квадратам мас:

$p_{i}^{2}=m_{i}^{2}\,$

• Збереження 4-імпульсу:

$p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}\,$

$p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4}\,$

Таким чином:

$s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}\,$

$t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3}\,$

$u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4}\,$

Просумувавши і підставивши квадрати мас:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}\,$

Останні чотири доданки дорівнюють нулю в силу збереження 4-імпульсу:

$2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0\,$

Отже:

$s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}\,$

Діаграми Фейнмана

Літери $s,t,u$ також використовуються в означенні каналів розсіяння $s$-канал (просторовий канал), $t$-канал (часовий канал), $u$-канал. Ці канали відповідають різним діаграмам Фейнмана чи різним можливим типам розсіяння, в якому взаємодія відбувається завдяки обміну проміжними (іноді їх називають віртуальними) частинками, чиї квадрати 4-імпульсів дорівнюють $s,t,u$, відповідно.

$s$-канал	$t$-канал	$u$-канал

:

Наприклад, $s$-канал відповідає розсіянню, в якому частинки 1 і 2 об'єднуються у проміжну частинку, яка врешті розпадається на частинки 3, 4: $s$-канал є єдиним способом виявити резонанси і нові нестабільні частинки за умови, що їхній час життя є достатньо довгим для прямого детектування. $t$-канал відповідає процесу, в якому частинка 1 випромінює проміжну частинку і стає в кінці частинкою 3, в той час як частинка 2 поглинає цю проміжну частинку і стає частинкою 4. $u$-канал — це $t$-канал, у якому частинки 3 і 4 помінялися місцями.

Література

• Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
• Perkins, Donald H. (2000). Introduction to High Energy Physics (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.