Кінематичні змінні Мандельштама

Кінематичні змінні Мандельштама — три скалярні релятивістські інваріантні величини, що зберігаються в процесі розсіяння двох елементарних частинок з утворенням двох нових або збереженням двох старих елементарних частинок, або в процесі розпаду однієї елементарної частинки на три. Зазвичай ці змнні позначаються як . Їх було введено Стенлі Мандельштамом у 1958 році.[1] Процес розсіяння можна повністю описати, якщо задати значення лише двох змінних Мандельштама, кожна із них дорівнюватиме квадрату повної енергії котроїсь із пар частинок у системі відліку, де їх центр мас перебуває в спокої.[2]

На цій діаграмі, дві частинки рухаються із імпульсами p1 і p2, після взаємодії (розсіяння) розлітаються дві частинки з іншими імпульсами (p3 і p4).

ВизначенняРедагувати

Розглядається процес розсіяння двох елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу    і утворенням після взаємодії двох нових чи збереження двох старих елементарних частинок з векторами енергії-імпульсу  . Залежність між енергією і масою мають вигляд:

 ,

де   — метричний тензор.

У метриці Мінковського з сигнатурою (1, -1,-1,-1)

 ,

або ж в релятивістських одиницях  :

 .

Тут   — тривимірний імппульс i-тої частинки.

Тут   — індекс елементарної частинки. Збереження кожної компоненти енергії-імпульсу представляється рівнянням:  . Із цієї рівності можна отримати три змінних Мандельштама в релятивістських одиницях:

  •  
  •  
  •  

ВластивостіРедагувати

Змінні Мандельштама пов'язані рівністю:

 .  

Для доведення використаємо дві інші рівності:

 
  • Збереження 4-імпульсу:
 
 

Таким чином:

 
 
 

Просумувавши і підставивши квадрати мас:

 

Останні чотири доданки дорівнюють нулю в силу збереження 4-імпульсу:

 

Отже:

 

Діаграми ФейнманаРедагувати

Літери   також використовуються в означенні каналів розсіяння  -канал (просторовий канал),  -канал (часовий канал),  -канал. Ці канали відповідають різним діаграмам Фейнмана чи різним можливим типам розсіяння, в якому взаємодія відбувається завдяки обміну проміжними (іноді їх називають віртуальними) частинками, чиї квадрати 4-імпульсів дорівнюють  , відповідно.

     
 -канал
 -канал
 -канал
:

Наприклад,  -канал відповідає розсіянню, в якому частинки 1 і 2 об'єднуються у проміжну частинку, яка врешті розпадається на частинки 3, 4:  -канал є єдиним способом виявити резонанси і нові нестабільні частинки за умови, що їхній час життя є достатньо довгим для прямого детектування.  -канал відповідає процесу, в якому частинка 1 випромінює проміжну частинку і стає в кінці частинкою 3, в той час як частинка 2 поглинає цю проміжну частинку і стає частинкою 4.  -канал — це  -канал, у якому частинки 3 і 4 помінялися місцями.

ПриміткиРедагувати

  1. Mandelstam, S. (1958). Determination of the Pion-Nucleon Scattering Amplitude from Dispersion Relations and Unitarity. Physical Review 112 (4). с. 1344. Bibcode:1958PhRv..112.1344M. doi:10.1103/PhysRev.112.1344. Архів оригіналу за 28 травень 2000. Процитовано 20 квітень 2016. 
  2. Займан, Дж. (1971). Современная квантовая теория. Москва: Мир. с. 288 с. 

ЛітератураРедагувати

  • Займан Дж. Современная квантовая теория. — М.: Мир, 1971. — 288 с.
  • Perkins, Donald H. (2000). Introduction to High Energy Physics (4th ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-62196-8.