Критерій Куранта — Фрідріхса — Леві

Умова Куранта-Фрідріхса-Леві (КФЛ) - це необхідна умова для збіжності при чисельному розв'язуванні певних диференціальних рівнянь з частковими похідними (зазвичай гіперболічні РЧП) методом скінченних різниць. ^[1] Вона виникає при чисельному аналізі схем інтеграції явно часу, коли вони використовуються для чисельного рішення. Як наслідок, в багатьох комп'ютерних моделюваннях, часовий крок повинен бути меншим, за певне значення, в іншому разі результати будуть неправильними. Умову названо в честь Річарда Куранта, Курта Фрідріха, і Ханса Льюї, які описали його в своїй статті 1928 р .. ^[2]

Евристичний опис ред.

Принципом умови є те, що, наприклад, якщо хвиля рухається по дискретній просторовій сітці, і ми хочемо, обчислити її амплітуду в різних часових проміжках однакової тривалості, ^[3] то ця тривалість повинна бути менше, ніж час за який хвиля переходить в сусідні точки сітки. Як наслідок, коли відстань між точкою сітки зменшується, верхня межа для часового кроку також зменшується. По суті, чисельна область залежно від будь-якої точки в просторі і часі (як визначено початковими умовами і параметрами схеми апроксимації) повинні включати в себе аналітичну область залежності (в якій вихідні умови впливають на точне значенням розв'язку в цій точці), з тим, щоб гарантувати, що ця схема може отримати доступ до інформації, необхідної для утворення розв'язку.

Формулювання ред.

Для того, щоб зробити досить формально точне формулювання умови, необхідно визначити наступні величини

Просторова координата: це одна з координат з фізичного простору, в якому ставиться задача.
Просторовий аспект проблеми: це число $n$ просторових вимірів, тобто кількість просторової координати фізичного простору, де ставиться завдання. Типові значення $n=1$ , $n=2$ і $n=3$ .
Час: це координата, що діє як параметр, який описує еволюцію системи, відмінної від просторових координат.

Просторові координати і час повинні бути дискретно незалежними змінними, які розміщені на однаковій відстані називаються довжиною інтервалу ^[4] і часовим кроком відповідно. Використовуючи ці означення, умова КФЛ це відношення довжини тимчасового кроку до функції довжин інтервалів кожної просторової координати і максимальної швидкості, з якою інформація може переміщатися в фізичному просторі.

Одновимірна випадок ред.

Для одновимірного випадку, умова КФЛ має наступний вигляд:

C={\frac {u\,\Delta t}{\Delta x}}\leq C_{\max }

де безрозмірне число називається число Куранти,

$u$ - швидкість переносу (довжина / час)
$\Delta t$ - часовий крок (час)
$\Delta x$ - інтервал довжини (довжина).

Значення $C_{\max }$ змінюється за допомогою методу, використовуваного для вирішення рівняння дискретизації, особливо в залежності від того, є метод явним чи неявним. Якщо явний, в розв'язуванні зазвичай використовується $C_{\max }=1$ . Неявні методи, як правило менш чутливі до чисельної нестабільності, тому великих значень $C_{\max }$ має бути достатньо.

Двох вимірний і n - мірний випадок ред.

У двовимірному випадку умова КФЛ має вигляд

C={\frac {u_{x}\,\Delta t}{\Delta x}}+{\frac {u_{y}\,\Delta t}{\Delta y}}\leq C_{\max }

Значення змінних очевидні. За аналогією з двовимірним випадком, загальний вигляд КФЛ для $n$ - мірного випадку є наступним:

C=\Delta t\sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{x_{i}}}{\Delta x_{i}}}\leq C_{\max }.

Довжина інтервалу не потрібна, бо вона однакова для кожної просторової змінної $\Delta x_{i},i=1,\ldots ,n$ . Ці «ступені вільності» можна використати для того, щоб оптимізувати величину кроку по часу для конкретного завдання, шляхом зміни значень інтервалу для того, щоб він був не надто малим.

Наслідки умови КФЛ ред.

Достатність умови КФЛ ред.

Умова КФЛ є необхідною, але не достатньою, для збіжності різницевої апроксимації даної чисельної задачі. Таким чином, для того, щоб встановити збіжність кінцево-різницевої апроксимації, необхідно використовувати інші методи, які, в свою чергу, можуть давати додаткові обмеження на довжину кроку за часом і / або на довжини просторових інтервалів.

Нотатки ред.

↑ Загалом, це не є достатньою умовою; Крім того, це може бути вимогливим умовою для деяких проблем. Дивіться «Наслідки цього CFL умови» даної статті для короткого огляду цих питань.
↑ Див посилання (Courant, Friedrichs та Lewy, 1928) . Там існує також англійський переклад 1928 Німецький оригінал: див посилання (Courant, Friedrichs та Lewy, 1956) і (Courant, Friedrichs та Lewy, 1967) .
↑ Ця ситуація зазвичай виникає, коли частковий диференційний гіперболічний оператор був апроксимований рівнянням скінченних різниць, яке потім вирішується за допомогою чисельних методів лінійної алгебри.
↑ Ця величина не обов'язково є однаковою для кожної просторової змінної, як показано в розділі «Два і взагалі p - вимірний випадок» цього запису: він може бути обраний для того , щоб дещо послабити умову.

Посилання ред.

3.
Courant, R.; Friedrichs, K.; Lewy, H. (September 1956) [1928], On the partial difference equations of mathematical physics, AEC Research and Development Report, т. NYO-7689, New York: AEC Computing and Applied Mathematics Centre – Courant Institute of Mathematical Sciences, с. V + 76, архів оригіналу за 23 жовтня 2008 :. Переклад з німецької Філліс Фокс. Це більш рання версія статті (Courant, Friedrichs та Lewy, 1967), який був поширений як дослідницький звіт.
3. Вільно завантажувана копія може бути знайдена тут [Архівовано 20 жовтня 2012 у Wayback Machine.] .
http://ami.lnu.edu.ua/wp-content/uploads/2013/10/Pi-120P.pdf [Архівовано 23 січня 2022 у Wayback Machine.]

Зовнішні посилання ред.

Bakhvalov, N. S. (2001), Courant–Friedrichs–Lewy condition, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
Weisstein, Eric W. Courant-Friedrichs-Lewy Condition(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

[1] Загалом, це не є достатньою умовою; Крім того, це може бути вимогливим умовою для деяких проблем. Дивіться «Наслідки цього CFL умови» даної статті для короткого огляду цих питань.

[2] Див посилання (Courant, Friedrichs та Lewy, 1928) . Там існує також англійський переклад 1928 Німецький оригінал: див посилання (Courant, Friedrichs та Lewy, 1956) і (Courant, Friedrichs та Lewy, 1967) .

[3] Ця ситуація зазвичай виникає, коли частковий диференційний гіперболічний оператор був апроксимований рівнянням скінченних різниць, яке потім вирішується за допомогою чисельних методів лінійної алгебри.

[4] Ця величина не обов'язково є однаковою для кожної просторової змінної, як показано в розділі «Два і взагалі p - вимірний випадок» цього запису: він може бути обраний для того , щоб дещо послабити умову.

[1]

[2]

[3]

[4]