Користувач:Ksusha St/Чернетка
Марківський процес
Зміст
ред.1. Історія 2 Ведення 3 Марківська властівість 3.1 Марківський процес 3.2 Марківські ланцюги з дискретним часом 4. Приклад марківского процесу 5. Марківские уявлення 6. Примітки 7 Посилання 8 Література
Історія
ред.Властивість, яка характеризує процес як марковський, називають марківською або властивістю Маркова. Вперше цю властивість було сформульовано російським математиком Марковим А. А., який 1907 року поклав початок вивченню послідовностей залежних випробувань і пов'язаних із ними сум випадкових величин. Цей напрямок досліджень відомий зараз під назвою теорії ланцюгів Маркова. Проте вже в роботі Л. Башельє можна угледіти спробу трактувати броунівський рух як марковський процес, яка отримала обгрунтування після досліджень Вінера 1923 року. Основи загальної теорії марковських процесів із неперервним часом було закладено у працях А. Колмогорова.
Введення
ред.Марківський процес є стохастичноюмоделю, що має властивість Маркова. Він може бути використаний для моделювання випадкової системи, що змінює стан відповідно до правила переходу, що залежить від поточного стану. Ця стаття описує процес Маркова в дуже загальному значенні. . Наступна таблиця дає огляд різних випадках марковських процесів для різних рівнів просторових станів та дискретного часу проти безперервного часу.
кінцевий простір безперервний або загальний стану
Дискретний час ланцюг Маркова з кінцевим простором станів ланцюг Харісса(ланцюг Маркова на спільному просторі станів)
Безперервність часу безперервний час процесу Маркова будь-яке безперервний стохастичний процес з марківської властивості, наприклад, процес Вінера
Зверніть увагу, що немає остаточної даних в літературі з використання деяких термінів, які показують особливі випадки марковських процесів. Наприклад, часто термін "ланцюг Маркова" використовується для позначення процесу Маркова, яка має кінцеве або рахункове значення простору станів, але ланцюга Маркова на спільному просторі станів підпадає під таким же описом. Точно так само, ланцюг Маркова, як правило, буде визначений на дискретній множині (тобто дискретним часом ланцюга Маркова) [2], хоча деякі автори використовують ту ж термінологію, де "час" може прийняти безперервні значення. [3] Крім того, інші розширення марковських процесів, які згадуються в такій якості, не обов'язково входять в будь-який з цих чотирьох категорій (див Маркова модель).
Марківські процеси виникають в теорії ймовірності та статистики в одному з двох способів. Стохастичний процес, визначається за допомогою окремого аргументу, може бути показано математично маючи властивість Маркова, і, як наслідок, маючи властивості, які можуть бути виведені з цього для всіх процесів Маркова. З іншого боку, при моделюванні процесу, можна припустити, що процес буде Марківським, і прийняти це як основу для будівництва. При моделюванні умов, припускаючи, що властивість Марков вважається один з обмеженого числа простих способів введення статистичної залежності в моделі для стохастичного процесу .
Марківська властівість
ред.Нехай - імовірнісний простір з фільтрацією по деякій(частково впорядкованій) множинні ; і нехай - змінений простір. Випадковий процес , виявлений на ймовірному просторі , вважається задовольняючим марковській властивості, якщо для кожного та ,
Марківський процес - це випадковий процес, що задовольняє Марковському властивості з природною фільтрацією.
Марківські ланцюги з дискретним часом
У випадку, якщо є дискретним множиною , визначення може бути переформулювано:
Приклад марківского процесу :
ред.Розглянемо простий приклад марковского випадкового процесу. По осі абсцис випадковим чином переміщується точка. У момент часу нуль точка знаходиться на початку координат і залишається там протягом однієї секунди. Через секунду кидається монета - якщо випав герб, то точка Х переміщається на одну одиницю довжини вправо, якщо решка - вліво. Через секунду знову кидається монета і проводиться таке ж випадкове переміщення, і так далі. Процес зміни положення точки («блукання») являє собою випадковий процес з дискретним часом (т = 0, 1, 2, ...) і рахунковим безліччю станів. Такий випадковий процес називається марківским, оскільки наступний стан точки залежить тільки від справжнього (поточного) стану і не залежить від минулих станів (неважливо, яким шляхом і за який час точка потрапила в поточну координату).
Марківские уявлення
ред.У деяких випадках, очевидно, немарківского процеси можуть набувати марківскогоуявлення, по будові за рахунок розширення концепції "поточної" і "майбутніх" станів. Наприклад, нехай х немарківский процес. Щоб визначити процес Y( при цьому кожен стан Y являє собою інтервал часу станів X) математично рівняння приймає форму:
Якщо Y має властивість Маркова, то це марковский уявлення X.
Примітки
ред.А.В.Булинский, А.Н.Ширяев. Теория случайных процессов. Физматлит, 2005.
Посилання
ред.Weisstein, Eric W. Markov process (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. https://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%BD%D1%86%D1%8E%D0%B3_%D0%9C%D0%B0%D1%80%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B0
Література
ред.• Баруча-Рид А. Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. — М.: Наука, 1969. — 512 с. • Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с. • ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с. • Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения (в 2-х томах). — М.: Мир, 1984. — 1280 с.