Користувач:BilanN/пісочниця

В теорії оптимізації та теорії графів, задача про максимальний потік полягає в знаходженні такого потоку за транспортною мережею, щоб сума потоків з витоку, або, що означає те ж саме, сума потоків до стоку була максимальна.

Задача про максимальний потік є окремим випадком більш складних задач, таких, як, наприклад, задача про циркуляцію.

Історія

Після вступу США у Другу світову війну у 1941 році математик Джордж Бернард Данціг почав працювати у відділі статистичного управління Військово-повітряних сил США у Вашингтоні. З 1941 по 1946 роки він очолював підрозділ аналізу військових дій (Combat Analysis Branch), де працював над різноманітними математичними проблемами.^[1]^[2] Згодом з використанням роботи Данцига задача про максимальний потік була вперше розв'язана у ході підготовки повітряного мосту під час Берлінського повітряного мосту, що відбувався у 1948-1949 роках.^[3]^[4]^[5]

У 1951 році Джордж Данциг вперше сформулював задачу у загальному вигляді.^[6]

У 1955 році Лестер Форд^[ru] і Делберт Фалкерсон^[en] вперше побудували алгоритм, призначений для вирішення цього завдання. Їх алгоритм отримав назву алгоритм Форда-Фалкерсона.^[7]^[8]

Надалі рішення задачі багато разів поліпшувалося.

У 2010 році дослідники Джонатан Келнер (Jonathan Kelner) і Олександр Мондри (Aleksander Mądry) з МТІ разом зі своїми колегами Даніелєм Спілманом (en:Daniel Spielman) з Єльського університету і Шень-Хуа Тенем (en:Shang-Hua Teng) з університету Південної Каліфорнії продемонстрували чергове покращення алгоритму, вперше за 10 років.^[3]^[9]^[10]

Визначення

Розглянемо транспортну мережу $\scriptstyle N=(V,E)$ з джерелом $\scriptstyle s\in V$ , стоком $\scriptstyle t\in V$ та пропускними здатностями $\scriptstyle c$ .

Величиною потоку (value of flow) називається сума потоків з джерела

\scriptstyle |f|=\sum _{v\in V}f_{sv}

. У статті «Транспортна мережа» доведено, що вона дорівнює сумі потоків у сток

\ \sum _{w\in V}f(w,t)

.

Задача про максимальний потік полягає в знаходженні потоку такого, щоб величина потоку була максимальна.

Розв'язання

Наступна таблиця перераховує деякі алгоритми розв'язання задачі.

Метод	Складність	Опис
Лінійне програмування	Залежить від конкретного алгоритму. Для симплекс-методу експоненціальна.	Розглянемо задачу про максимальний потік як задачу лінійного програмування. Змінними є потоки по ребрах, а обмеженнями - збереження потоку й обмеження пропускної здатності.
Алгоритм Форда-Фалкерсона●	Залежить від алгоритму пошуку шляху, що збільшується. Потребує O(max\| f \|) таких пошуків.	Знайти будь-який шлях, що збільшується. Збільшити потік по всіх його ребрах на мінімальну з їх залишкових пропускних здатностей. Повторювати, поки є шлях, що збільшується. Алгоритм працює тільки для цілих пропускних здатностей. В іншому випадку, він може працювати нескінченно довго, не сходячись до правильної відповіді.
Алгоритм Едмондса–Карпа	O(VE²)	Виконуємо алгоритм Форда-Фалкерсона, щоразу обираючи найкоротший шлях, що збільшується (знаходиться пошуком у ширину).
Алгоритм Дініца●	O(V²E) $\scriptscriptstyle O(V{\sqrt {E}})$ для одиничних пропускних здатностей $O(VE\log(V))$ з використанням динамічних дерев Слетора і Тар'яна^[11]	Удосконалення алгоритму Едмондса-Карпа (але хронологічно був знайдений раніше). На кожній ітерації, використовуючи пошук у ширину, визначаємо відстані від джерела до всіх вершин у залишковій мережі. Будуємо граф, який містить лише такі ребра залишкової мережі, на яких ця відстань зростає на 1. Виключаємо з графа усі тупикові вершини з інцидентними їм ребрами, поки всі вершини стануть не тупиковими. (Тупиковою називається вершина, в яку не входить і з якої не виходить жодне ребро, крім джерела і стоку.) На отриманому графі відшукуємо найкоротший шлях, що збільшується (їм буде будь-який шлях з s в t). Виключаємо із залишкової мережі ребро з мінімальною пропускною здатністю, знову виключаємо тупикові вершини, і так поки ще існують шляхи, що збільшуються.
Алгоритм просовування предпотоку^[ru]	O(V²E)	Замість потоку оперує з передпотоком. Різниця в тому, що для будь-якої вершини u, крім джерела і стоку, сума потоків, що входять до неї для потоку повинна бути строго нульовою (умова збереження потоку), а для передпотока - невід'ємною. Ця сума називається надмірним потоком у вершину, а вершина з позитивним надмірним потоком називається переповненою . Крім того, для кожної вершини алгоритм зберігає додаткову характеристику, висоту, яка є цілим невід'ємним числом. Алгоритм використовує дві операції: просування , коли потік по ребру, що йде з більш високої в нижчу вершину, збільшується на максимально можливу величину, і підйом , коли переповнена вершина, просування з якої неможливо через недостатню висоту, підіймається. Просування можливо, коли ребро належить залишковій мережі, коли воно веде з більш високої вершини в більш низьку, і вихідна вершина переповнена. Підйом можливий, коли вершина, що піднімається, переповнена, але жодна з вершин, в котру з неї ведуть ребра залишкової мережі, не нижче за неї. Він вчиняється до висоти на 1 більшою, ніж мінімальна з висот цих вершин. Спочатку висота джерела V, по всім ребрам, що виходять з джерела, тече максимально можливий потік, а решта висоти і потоки нульові. Операція просування і підйому виконуються до тих пір, поки це можливо.
Алгоритм «підняти на початок»^[ru]	O(V³) O(VE log(V²/E)) з використанням динамічних дерев	Варіант попереднього алгоритму, що спеціальним чином визначає порядок операцій просовування і підйому.
Алгоритм двiйкового блокуючого потоку ^[1]	$\scriptscriptstyle O(E\min(V^{2/3},{\sqrt {E}})\log(V^{2}/E)\log {\max {\|f\|}})$

Для більш детального списку, див. ^[2].

Теорема про цілий потік

Якщо пропускні спроможності цілі, максимальна величина потоку теж ціла.

Теорема випливає, наприклад, з теореми Форда-Фалкерсона●.

Узагальнення, що зводяться до вихідної задачі

Деякі узагальнення задачі про максимальний потік легко зводяться до вихідної задачі.

Довільне число джерел та / або стоків

Трансформація задачі з довільною кількість джерел і стоків до початкової задачі

Якщо джерел більше одного, додаємо нову вершину S, яку робимо єдиним джерелом. Додаємо ребра з нескінченною пропускною здатністю від S до кожного зі старих джерел.

Аналогічно, якщо стоків більше одного, додаємо нову вершину T, яку робимо єдиним стоком. Додаємо ребра з нескінченною пропускною здатністю від кожного зі старих стоків до T.

Неорієнтовані ребра

Кожне неорієнтоване ребро (u, v) замінюємо на пару орієнтованих ребер (u, v) і (v, u).

Обмеження пропускної здатності вершин

Трансформація задачі з обмеженою пропускною здатністю вершин до початкової задачі шляхом розщеплення вершин

Кожну вершину v з обмеженою пропускною здатністю $c_{v}$ розщеплюємо на дві вершини v_in і v_out. Всі ребра, які до розщеплення входять до v, тепер входять в v_in. Всі ребра, які до розщеплення виходять з v, тепер виходять з v_out. Додаємо ребро (v_in,v_out) з пропускною здатністю $c_{v}$ .

Див. також

Потокова мережа

Примітки

↑ Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. George Dantzig в архіві MacTutor (англ.)
↑ Cottle, Richard; Johnson, Ellis; Wets, Roger, «George B. Dantzig (1914—2005)», Notices of the American Mathematical Society, v.54, no.3, March 2007. Cf. p.348
↑ ^а ^б Hardesty, Larry, «First improvement of fundamental algorithm in 10 years», MIT News Office, September 27, 2010
↑ Borndörfer, Ralf; Grötschel, Martin; Löbel, Andreas, «Alcuin’s Transportation Problems and Integer Programing», Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik, Berlin, Germany, November 1995. Cf. p.3
↑ Powell, Stewart M., «The Berlin Airlift», Air Force Magazine, June 1998.
↑ Dantzig, G.B., «Application of the Simplex Method to a Transportation Problem», in T.C. Koopman (ed.): Activity Analysis and Production and Allocation, New York, (1951) 359—373.
↑ Ford, L.R., Jr.; Fulkerson, D.R., «Maximal Flow through a Network», Canadian Journal of Mathematics (1956), pp.399-404.
↑ Ford, L.R., Jr.; Fulkerson, D.R., Flows in Networks, Princeton University Press (1962).
↑ Kelner, Jonathan, «Electrical Flows, Laplacian Systems and Faster Approximation of Maximum Flow in Undirected Graphs», talk at CSAIL, MIT, Tuesday, September 28 2010
↑ Electrical Flows, Laplacian Systems, and Faster Approximation of Maximum Flow in Undirected Graphs, by Paul Cristiano et al., October 19, 2010.
↑ Алгоритм Диница

Література

Schrijver, Alexander, «On the history of the transportation and maximum flow problems», Mathematical Programming 91 (2002) 437—445
Т. Кормен; Ч. Лейзерсон; Р. Рівест. Вступ до алгоритмів. MIT Press і McGraw-Hill.. Глава 26. Максимальный поток.
↑ Andrew V. Goldberg and S. Rao (1998). Beyond the flow decomposition barrier. J. Assoc. Comput. Mach. 45: 753—782. doi:10.1145/290179.290181.
↑ Andrew V. Goldberg and Robert E. Tarjan (1988). A new approach to the maximum-flow problem. Journal of the ACM. ACM Press. 35 (4): 921—940. doi:10.1145/48014.61051. ISSN 0004-5411. {{cite journal}}: Проігноровано невідомий параметр |address= (можливо, |location=?) (довідка)
↑ Joseph Cheriyan and Kurt Mehlhorn (1999). An analysis of the highest-level selection rule in the preflow-push max-flow algorithm. Information Processing Letters. 69 (5): 239—242. doi:10.1016/S0020-0190(99)00019-8.
↑ Daniel D. Sleator and Robert E. Tarjan (1983). A data structure for dynamic trees (PDF). Journal of Computer and System Sciences. 26 (3): 362—391. doi:10.1016/0022-0000(83)90006-5. ISSN 0022-0000.
↑ Daniel D. Sleator and Robert E. Tarjan (1985). Self-adjusting binary search trees (PDF). Journal of the ACM. ACM Press. 32 (3): 652—686. doi:10.1145/3828.3835. ISSN 0004-5411. {{cite journal}}: Проігноровано невідомий параметр |address= (можливо, |location=?) (довідка)
Eugene Lawler (2001). 4. Network Flows. Combinatorial Optimization: Networks and Matroids. Dover. с. 109—177. ISBN 0486414531.

[1] Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. George Dantzig в архіві MacTutor (англ.)

[2] Cottle, Richard; Johnson, Ellis; Wets, Roger, «George B. Dantzig (1914—2005)», Notices of the American Mathematical Society, v.54, no.3, March 2007. Cf. p.348

[MIT2010-3] а ^б Hardesty, Larry, «First improvement of fundamental algorithm in 10 years», MIT News Office, September 27, 2010

[4] Borndörfer, Ralf; Grötschel, Martin; Löbel, Andreas, «Alcuin’s Transportation Problems and Integer Programing», Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik, Berlin, Germany, November 1995. Cf. p.3

[5] Powell, Stewart M., «The Berlin Airlift», Air Force Magazine, June 1998.

[6] Dantzig, G.B., «Application of the Simplex Method to a Transportation Problem», in T.C. Koopman (ed.): Activity Analysis and Production and Allocation, New York, (1951) 359—373.

[7] Ford, L.R., Jr.; Fulkerson, D.R., «Maximal Flow through a Network», Canadian Journal of Mathematics (1956), pp.399-404.

[8] Ford, L.R., Jr.; Fulkerson, D.R., Flows in Networks, Princeton University Press (1962).

[9] Kelner, Jonathan, «Electrical Flows, Laplacian Systems and Faster Approximation of Maximum Flow in Undirected Graphs», talk at CSAIL, MIT, Tuesday, September 28 2010

[10] Electrical Flows, Laplacian Systems, and Faster Approximation of Maximum Flow in Undirected Graphs, by Paul Cristiano et al., October 19, 2010.

[11] Алгоритм Диница

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[1]

[2]