Збіжність послідовності . Число e.

ред.

Нехай  .

Теорема.

Виконуються такі твердження:

  •  ;
  • послідовність   строго зростає;
  • послідовність   строго спадає;
  •   збіжна.

Доведемо останнє твердження.

Із перших трьох тверджень слідує:

 ,

отже

 ,

тобто   - обмежена, також вона монотонна, отже, за теоремою Веєрштраса про збіжність монотонної послідовності,   збігається.

Границя послідовності   позначається символом е.  

TODO: написати доведення перших 3 пунктів!!!

Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа

ред.

Теорема Ферма.

Нехай   abo   i  .

Тоді обов'язково  .

Доведення

Доведення для випадку, коли  .

При  , тому   за означенням похідної і теоремою про зв'язок звичайної і односторонньої границі:

 

При  , тому   за означенням похідної і теоремою про зв'язок звичайної і односторонньої границі:

 

Тому:  

Теорема Ролля.

Нехай   і задовольняє:

1.  

2.  

3. f(a) = f(b)

Тоді  .

Доведення

Можливі 2 випадки:

  • Якщо f - стала на [a,b], тобто  , то   за c можна взяти будь-яку точку з (a;b).
  • Якщо f - не стала на [a,b]. За умовою 1,   за другою теоремою Веєрштраса:

-  

-  

Одне із значень   не дорівнює f(a), бо f не стала.

Нехай  , тоді   за умовою 3.

За умовою 2  . Тоді за теоремою Ферма  , отже  .

Теорема Лагранжа про скінченний приріст.

  і задовольняє:

  •  
  •  

Тоді  .

Доведення

Розглянемо  

Порахуємо  

Тобто g(b) = g(a) – значення на кінцях функції співпадають.

Також  

Отже, виконуються умови теореми Ролля для g. За теоремою Ролля,  , таке що g'(c) = 0, тобто внаслідок (1):

 

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца. Застосування визначеного інтегралу до обчислення довжин, площ, об’ємів.

ред.

Визначений інтеграл. Теорема Ньютона-Лейбніца.

ред.

Нехай функція   визначена на відрізку [a;b]. Розіб'ємо цей відрізок на   довільних частин точками:  .

На кожному частинному відрізку  ,  , візьмемо довільну точку   і побудуємо суму   (1)

Ця сума називається інтегральною сумою функції  .

Позначимо через   довжину найбільшого частинного відрізка розбиття і назвемо його діаметром цього розбиття:

 

Якщо існує скінченна границя інтегральної суми (1) при  , яка не залежить ні від розбиття, ні від вибору точок  , то ця границя називається інтегралом Рімана (або визначеним інтегралом) функції   на відрізку   і позначається символом  . Отже, згідно з означенням,

 

Позначення:   означає, що   інтегрована за Ріманом по відрізку [a;b].

Теорема Ньютона-Лейбніца

Нехай   є якою-небудь первісною від неперервної функції  , тоді:

 .

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца, або основною формулою інтегрального числення.

Доведення

1. Зафіксуємо розбиття [a,b] λ = {x0, x1, ..., xn}. За умовою 2 для всіх 0 ≥ k ≥ n-1 до F(x) на відрізку [xk; xk+1] застосувати теорему Лагранжа:  . Тепер інтегральна сума:  

2. Внаслідок умови 1 зафіксуємо послідовність розбиттів   таку, що |λ| → 0, n → ∞. Для всіх n≥1 виберемо набір точок {ξk(n)} способом, вказаним в п.1. За теоремою про послідовність інтегральних сум:  , але внаслідок п.1  , тому  .

Застосування визначеного інтегралу до обчислення довжин, площ, об’ємів.

ред.

1. Площа криволінійної трапеції. Якщо   - невід'ємна і неперервна на [a;b] функція, то площа криволінійної трапеції   обчислюється за формулою  .

2. Довжина дуги кривої. Якщо  , то довжина кривої   обчислюється за формулою

 

5. Об'єм тіла обертання. Нехай   - невід'ємна і неперервна на [a;b] функція. Тоді об'єм тіла Т, утвореного обертанням навколо осі   криволінійної трапеції  , обчислюється за формулою

 

6. Площа поверхні обертання. Площа поверхні Р, утвореної обертанням навколо осі   кривої  обчислюється за формулою

 

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд. Ознаки порівняння збіжності додатних числових рядів. Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності додатних числових рядів.

ред.

Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Гармонійний ряд (α = 1).

ред.

Нехай   - фіксована числова послідовність.

Числовим рядом називається формальна сума  

При цьому число   називається n-тим членом ряду (1).

  називається n-тою частковою сумою ряду (1).

Якщо існує скінченна  , то ряд (1) називається збіжним до числа S, а S називається сумою ряду.

Якщо   не існує або нескінченна, то ряд називається розбіжним.

Необхідна умова збіжності числового ряду.

Перша необхідна умова:

якщо   збігається, то  .

Доведення. Нехай ряд збігається до S, тобто існує  .

 .

Зауваження. З першої необхідної умови випливає, що якщо  , то ряд   розбігається. Якщо  , то треба досліджувати далі.

Друга необхідна умова:

Якщо   збігається, то  .

Доведення. Нехай ряд збігається до S, тобто існує  , тоді

 

Гармонійний ряд  .

Доведемо, що він розбігається.

Перевіримо другу необхідну умову:

 .

Тобто   за теоремою про нерівності для границь  , друга необхідна умова не виконується, отже, гармонійний ряд розбіжний.

Ознаки порівняння збіжності знакододатних числових рядів.

ред.

Нехай для всіх n>=1: 0<=an<=bn. Тоді:

  • 1. Якщо Сума(n=1..нескінченність)(bn) збігається, то і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж збігається.
  • 2. Якщо Сума(n=1..нескінченність)(аn) розбігається, то Сума(n=1..нескінченність)(bn) теж розбігається.
Доведення

Доведення випливає з критерія збіжності, бо для всіх n>=1: (S_n)^a = a1+a2+...+an... i (S_n)^b = b1+b2+...+bn... Для цих сум виконується: (S_n)^a <= (S_n)^b (обмеженість). ДОВЕДЕНО.

ДРУГА ОЗНАКА ЗБІЖНОСТІ. Нехай для всіх n>=1: an>0 і bn>0. Існує lim(n->нескінченність)(an/bn)=L є (0;нескінченність).

Тоді поведінка рядів Сума(n=1..нескінченність)(аn) і Сума(n=1..нескінченність)(bn) однакова.

Для доведення використовуємо ЛЕМУ: Нехай для всіх n>=1: cn>0, ряд Сума(n=1..нескінченність)(сn) - збіжний, d_n (n>=1) - послідовність, така що існує alpha>0: 0<=d_n<=alpha. Тоді ряд Сума(n=1..нескінченність)(dn*cn) - збігається.

ДОВЕДЕННЯ ЛЕМИ. Для всіх n>=1: Сума(k=1..n)(dk*ck) <= Сума(k=1..n)(L*ck) = L*Сума(k=1..n)(ck) (1).

Оскільки Сума(k=1..n)(ck) збігається, то за критерієм збіжності: {Сума(k=1..n)(ck): n>=1} - обмежений. Тоді з (1)

{Сума(k=1..n)(dk*ck): n>=1} - обмежений. За критерієм збіжності, Сума(n=1..нескінченність)(dn*cn) збігається. ДОВЕДЕНО.

ДОВЕДЕННЯ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ.

1. Нехай Сума(n=1..нескінченність)(bn) збігається. Доведемо, що і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж збігається. Оскількі існує lim(n->нескінченність)(an/bn)=L, то послідовність an/bn обмежена. Тобто існує с>0, таке що для будь-якого n>=1: 0<=an/bn<=c.

ak/bk, k>=1 - задовольняє умову леми: ряд Сума(n=1..нескінченність)(bn) - збіжний. Отже: Сума(n=1..нескінченність)(an)=Сума(n=1..нескінченність)(an/bn)*bn - збіжний (за лемою).

2. Нехай Сума(n=1..нескінченність)(bn) розбігається. Доведемо, що і Сума(n=1..нескінченність)(аn) теж розбігається.

Від супротивного. Припустимо, що Сума(n=1..нескінченність)(аn) збіжний. lim(n->нескінченність)(an/bn)=L - з умови.

L є (0;нескінченність) => існує lim(n->нескінченність)(bn/an)=1/L => {bn/an: n>=1} - обмежений, а отже, задовольняє умову леми. Тому ряд Сума(n=1..нескінченність)(bn)=Сума(n=1..нескінченність)(bn/аn)*an - теж збіжний за лемою. Протиріччя. ДОВЕДЕНО.

Ознаки Коші і Д’Аламбера збіжності знакододатніх числових рядів.

ред.

Теорема. Ознака Коші

Якщо для ряду з додатними членами   існує границя  , то:

  1. ряд збіжний при  
  2. ряд розбіжний при  
Доведення
  • 1).p<1, зафіксуємо r, таке що p<r<1. Оскільки lim_(n->oo) sqrt^n(an) = p, то існує номер n0 для всіх n>=n0 : sqrt^n(an)<r, тобто an < r^n , n>=n0. Ряд sum_(n=n0...oo)r^n - збіжний як геометричний ряд |r|<1. звідси за 1 ознакою порівняння: sum_(n=n0...oo)an - збіжний, а отже і ряд sum_(n=1...oo)an - збіжний, оскільки хвіст ряду збігається.
  • 2).p>1. lam_(n->oo) sqrt^n(an) = p > 1. Отже існує n0 для всіх n>=n0: sqrt^n(an)>=1 , тобто an>=1,n>=n0, тоді an !->0, n->oo, а отже ряд sum_(n=1...oo)an - розбіжний.
  • 3).p=1. Наведемо приклад ряду що розбігається: sum_(n=1...oo) 1 - розбіжний, бо 1!->0, n->oo:

lim_(n->oo)sqrt^n(an) = lim_(n->oo)sqrt^n(1) = 1 = p.

Наведемо приклад збіжного ряду: sum_(n=1...oo) (1/n^2) - збіжний, як узагальнений гармонійний ряд з alpha > 1, але lim_(n->oo)sqrt^n(an) = lim_(n->oo)sqrt^n((1/n^2)) = lim_(n->oo)1/(sqrt^n(n))^2 = 1 = p.

Теорема. Ознака Д'Аламбера

Якщо для ряду з додатними членами   існує границя  , то:

  1. ряд збіжний при  
  2. ряд розбіжний при  

Зауваження 1. Якщо l=1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. У цьому випадку ряд треба дослідити за допомогою інших ознак.

Розклад функцій в ряд Тейлора, основні розклади.

ред.

Ряд Тейлора

 , f - нескінченно диференційовна на  .

Степеневий ряд

  (1)

називається рядом Тейлора для функції f в околі точки  .

Теорема 1. Нехай   справджується  .

Тоді  

Теорема 2. Степеневий ряд з R > 0 завжди є рядом Тейлора для своєї суми.

Наслідок. Для того, щоб розкласти функцію в ряд Тейлора, досить отримати розклад в будь-який степеневий ряд.

Таблиця розкладів у ряд Тейлора для деяких функцій в околі 0.

1.  
2.  
3.  
4.  
5. Біноміальний розклад   - фіксоване:
 
6.  

Алгоритм розкладу в ряд Тейлора

ред.

Для розкладу функціїї   в ряд Тейлора (Маклорена) (1) потрібно:

  • знайти похідні  
  • обчислити значення похідних в точці  
  • записати ряд (1) для заданої функції і знайти його інтервал збіжності
  • знайти інтервал (-R; R), в якому залишковий член ряду Маклорена Rn(x)->0 при n-> . Якщо такого інтервалу не існує, то в ньому функція   і сума ряду Маклорена збігаються.

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.Диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

ред.

Поняття тригонометричного ряду, розклад функцій в ряд Фур’є.

ред.

l > 0 – фіксоване.

Послідовність функцій   називається основною тригонометричною системою на [–l; l].

Нехай   – періодична інтегрована за Ріманом функція по відрізку [–l; l].

Числа   називаються коефіцієнтами Фур'є для функції f, а ряд

 рядом Фур'є для функції f.

Існують неперевні функції, такі, що відповідний їм ряд Фур'є не збігається до значення функції в жодній точці.

Зауваження: якщо f – парна, то  

якщо f – непарна, то  

Властивості ряду Фур'є:

1. Рівність Парсеваля:  
2. Ряд Фур'є збігається в середньому квадратичному, тобто якщо  , то  .
3. Поточкова збіжність:
  • Якщо  , то ряд Фур'є в точці   збігається до  ;
  • Нехай в точці   існують такі границі:  . Тоді ряд Фур'є в точці   збігається до  .
4. Рівномірно збіжний на R тригонометричний ряд є рядом Фур'є для своєї суми.
5.  , тоді ряд, отриманий почленним інтегруванням ряду Фур'є, рівномірно збігається на R до такої функції:  

Теореми про диференціювання та інтегрування рядів Фур'є.

ред.

l>0 Означення. Послідовність функцій 1, cos(Пx/l),sin(Пx/l), cos(2Пx/l),sin(2Пx/l),..., cos(nПx/l),sin(nПx/l) називається основною тригонометричною с-мою на відрізку [-l,l].

Нехай f:R->R  ??? Achtung (-2l)??? - періодична і інтегрована за Ріманом на [-l,l].

Числа:

a0=1/l integral^l_-l f(x)dx .... an=1/l integral^l_-l f(x)cos(nПx/l)dx, n>=1 bn=1/l integral^l_-l f(x)sin(nПx/l)dx, n>=1

наз. коефіцієнтами Фур"є для f, a ряд a0/2+СУМА^inf_n=1(ancos(nПx/l)+bnsin(nПx/l)) - рядом Фур"є

Влястивості ряду Фур"є.

1. Рівність Парсеваля.

a0/2+СУМА^inf_n=1(an^2+bn^2)=1/l integral^l_-l f^2(x)dx

Пусть f:R -> R -- непрерывно дифференцируемая 2П-периодическая функция. Как мы уже знаем, она представима своим рядом Фурье, а значит для всех х є R можно записать

f(x)=a_0/2+sum_n=1^inf (a_n\cos nx +b_n\sin nx)

При этом ее производная f' непрерывна и 2П-периодична, а значит о сходимости ее ряда Фурье мы ничего сказать не можем, но формальный ряд Фурье построить можно:

f'(x) хвилька a_0'/2+sum_n=1^inf (a_n'\cosnx + b_n'\sinnx)

Теорема (о дифференцировании ряда Фурье) . При сделанных выше предположениях справедливы равенства a0'=0, an'=nbn, bn'=-nan, n>=1.

Доказательство. Интегрируя по частям, получим для любого n> 0

a_n'=1/pi integral_-pi^pi f'(x)cosnx dx=1/pi [ f(x)cos nx |_-pi^pi+ integral_-pi^pi nf(x)sinnx dx]=((-1)^n[f(pi)-f(-pi)])/pi +nb_n=nb_n. Остальные равенства доказываются аналогично.


Пусть теперь функция g непрерывна, 2\pi-периодична и integral_-pi^pi g(x)dx=0.

Рассмотрим, кроме того, непрерывно дифференцируемую 2\pi-периодическую функцию G(x)=integral_0^xg(t)dt разложим ее в (сходящийся к ней) ряд Фурье:

G(x)= A_0/2+sum_n=1^inf (A_n\cosnx + B_n\sinnx)

Теорема (об интегрировании ряда Фурье) . При сделанных выше предположениях справедливы равенства A_0/2=sum_n=1^inf b_n/n, An=-bn/n, Bn=an/n n>=1.