d
⊢
X
×
Y
⊆
R
2
∧
X
×
Y
≠
∅
∧
S
f
=
{
f
|
f
∈
P
(
X
×
Y
)
∧
f
:
X
↦
Y
}
∧
u
:
N
→
S
f
∧
v
∈
S
f
→
(
[
T
h
e
s
e
q
u
e
n
c
e
]
u
c
o
n
v
e
r
g
e
s
p
o
i
n
t
w
i
s
e
t
o
v
.
↔
∀
x
∈
X
(
lim
n
→
∞
u
n
(
x
)
=
v
(
x
)
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}d\vdash \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \subseteq \mathbb {R} ^{2}\ \ \land \ \ \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \neq \varnothing \ \ \land \ \ \mathrm {S_{f}} =\{\mathrm {f} |\ \ \mathrm {f} \in {\mathcal {P}}(\mathbb {X} \times \mathbb {Y} )\ \land \ \mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} \}\ \ \land \ \ \mathrm {u} :\mathbb {N} \to \mathrm {S_{f}} \\\ \land \ \ \mathrm {v} \in \mathrm {S_{f}} \ \to \ (\mathrm {[The\ sequence]\ u\ converges\ pointwise\ to\ v.} \ \leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)=v(x)\ ))\end{aligned}}}
Примечание
X
×
Y
=
{
⟨
x
,
y
⟩
|
x
∈
X
∧
y
∈
Y
}
{\displaystyle ~\mathbb {X} \times \mathbb {Y} =\{\langle x,y\rangle |\ \ x\in \mathbb {X} \ \land \ y\in \mathbb {Y} \}}
P
(
X
×
Y
)
{\displaystyle ~{\mathcal {P}}(\mathbb {X} \times \mathbb {Y} )}
- булеан непустого декартового произведения
X
×
Y
{\displaystyle ~\mathbb {X} \times \mathbb {Y} }
, в котором
X
{\displaystyle ~\mathbb {X} }
и
Y
{\displaystyle ~\mathbb {Y} }
- [собственные или несобственные] подмножества множества вещественных чисел
R
{\displaystyle ~\mathbb {R} }
.
f
:
X
↦
Y
{\displaystyle ~\mathrm {f} :\mathbb {X} \mapsto \mathbb {Y} }
- вещественная функция вещественного переменного, определённая на подмножестве вещественных чисел
X
{\displaystyle ~\mathbb {X} }
со значениями в подмножестве вещественных чисел
Y
{\displaystyle ~\mathbb {Y} }
.
S
f
{\displaystyle ~\mathrm {S_{f}} }
- множество вещественных функций вещественного переменного, определённых на подмножестве вещественных чисел
X
{\displaystyle ~\mathbb {X} }
со значениями в подмножестве вещественных чисел
Y
{\displaystyle ~\mathbb {Y} }
.
u
:
N
↦
S
f
⇔
u
=
{
⟨
n
,
u
n
⟩
|
⟨
n
,
u
n
⟩
∈
N
×
S
f
∧
u
n
=
{
⟨
x
,
y
⟩
|
⟨
x
,
y
⟩
∈
X
×
Y
∧
y
=
u
n
(
x
)
}
}
{\displaystyle ~\mathrm {u} :\mathbb {N} \mapsto \mathrm {S_{f}} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {u} =\{\langle n,\mathrm {u} _{n}\rangle |\ \ \langle n,\mathrm {u} _{n}\rangle \in \mathbb {N} \times \mathrm {S_{f}} \quad \land \quad \mathrm {u} _{n}=\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \land \ y=u_{n}(x)\}\}}
v
∈
S
f
⇔
v
=
{
⟨
x
,
y
⟩
|
⟨
x
,
y
⟩
∈
X
×
Y
∧
y
=
v
(
x
)
}
{\displaystyle ~\mathrm {v} \in \mathrm {S_{f}} \ \Leftrightarrow \ \mathrm {v} =\{\langle x,y\rangle |\ \ \langle x,y\rangle \in \mathbb {X} \times \mathbb {Y} \ \land \ y=v(x)\}}
∀
x
∈
X
(
lim
n
→
∞
u
n
(
x
)
=
v
(
x
)
)
⇔
∀
x
∈
X
∀
ε
∈
(
0
,
∞
)
∃
N
∈
N
∀
n
∈
N
(
n
>
N
→
|
u
n
(
x
)
−
v
(
x
)
|
<
ε
)
{\displaystyle ~\forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ (\lim _{n\to \infty }u_{n}(x)=v(x))\ \Leftrightarrow \ \forall _{x\ \in \ \mathbb {X} }\ \forall _{\varepsilon \ \in \ (0,\infty )}\ \exists _{N\ \in \ \mathbb {N} }\ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} }\ (n>N\ \to \ |u_{n}(x)-v(x)|<\varepsilon )}
Галактион 18:58, 17 серпня 2009 (UTC)