Користувач:Галактион/Зліченна множина

Подстраница "Користувач Галактион/Зліченна множина" создана для того, чтобы перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Зліченна множина". Галактион 09:31, 5 березня 2010 (UTC)

Примечание к статье "Злiченна множина"

$~\vdash \ X\ \mathrm {is\ a\ countable\ set} .\ \leftrightarrow \ |X|=\aleph _{0}$

$~\vdash \ X\ \mathrm {is\ a\ countable\ set} .\ \leftrightarrow \ |X|=|\mathbb {N} |$

$~\vdash \ X\ \mathrm {is\ a\ countable\ set} .\ \leftrightarrow \ \exists \mathrm {f\ (Bij(f} :X\mapsto \mathbb {N} ))$

Примечание

$~\vdash \quad \mathrm {Bij(f} :X\mapsto \mathbb {N} )\quad \leftrightarrow \quad \mathrm {f} :X\mapsto \mathbb {N} \quad \land \quad \forall n\ (n\in \mathbb {N} \ \to \ \exists ^{\{1\}}x\ (\langle x,n\rangle \in \mathrm {f} ))$

$~\vdash \quad \mathrm {f} :X\mapsto \mathbb {N} \quad \leftrightarrow \quad \mathrm {f} \subseteq X\ \times \ \mathbb {N} \quad \land \quad \mathrm {f} \neq \varnothing \quad \land \quad \forall x\ (x\in X\ \to \ \exists ^{\{1\}}n\ (\langle x,n\rangle \in \mathrm {f} ))$

Theorems

$~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \to \ \forall _{A\ \subseteq \ X}\ (|A|<\aleph _{0}\ \veebar \ |A|=\aleph _{0})$

$~t\vdash \quad Y\neq \varnothing \quad \land \quad (|Y|<\aleph _{0}\ \lor \ |Y|=\aleph _{0})\quad \land \quad \forall _{X\ \in \ Y}\ (|X|=\aleph _{0})\quad \to \quad |\cup Y|=\aleph _{0}$

Примечание

$~\vdash \quad \cup Y=\{x|\ \ \exists X\ (X\in Y\ \land \ x\in X)\}$

$~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \to \ \forall _{n\ \in \ \mathbb {N} \ \land \ n\ >\ 1}\ (|X^{n}|=\aleph _{0})$

$~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \land \ Z=\{Y|\ \ Y\subseteq X\ \land \ |Y|<\aleph _{0}\}\ \to \ |Z|=\aleph _{0}$

$~t\vdash \quad |X|=\aleph _{0}\ \land \ Z=\{Y|\ \ Y\subseteq X\}\ \to \ |Z|>\aleph _{0}$

Галактион 07:59, 12 серпня 2009 (UTC)