Користувач:Галактион/Індукція логічна

Подстраница "Користувач:Галактион/Індукція логічна" создана для того, чтобі перенести информацию из раздела "Обговорення" статьи "Індукція логічна". Галактион 15:16, 5 березня 2010 (UTC)

Правило обобщения (от частного к общему)

$~\vdash \ {\mathfrak {a}}(x)\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ ({\mathfrak {a}}(y))$

Пример

$~\vdash \ x\in \mathbb {N} \ \to \ x\not <0\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathbb {N} \ \to \ y\not <0)$

It is known that any natural number is not less than nought. $~\Rrightarrow$ It is known that each natural number is not less than nought.

Примеры ошибочных обобщений

$~\vdash \ 0^{2}=0\quad \land \quad \vdash \ 1^{2}=1\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathbb {N} \ \to \ y^{2}=y)$

Правильно так:

$~0^{2}=0\quad \land \quad 1^{2}=1\quad \Leftrightarrow \quad \forall y\ (y\in \{0,\ 1\}\ \to \ y^{2}=y)$

$~\vdash \ 0^{2}\leq 0\quad \land \quad \vdash \ 1^{2}\leq 1\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathbb {N} \ \to \ y^{2}\leq y)$

Правильно так:

$~0^{2}\leq 0\quad \land \quad 1^{2}\leq 1\quad \Leftrightarrow \quad \forall y\ (y\in \{0,\ 1\}\ \to \ y^{2}\leq y)$

$~\vdash \ (-1)^{2}\leq 1\quad \land \quad \vdash \ 0^{2}\leq 1\quad \land \quad \vdash \ 1^{2}\leq 1\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathbb {Z} \ \to \ y^{2}\leq 1)$

Правильно так:

$~(-1)^{2}\leq 1\quad \land \quad 0^{2}\leq 1\quad \land \quad 1^{2}\leq 1\quad \Leftrightarrow \quad \forall y\ (y\in \{-1,\ 0,\ 1\}\ \to \ y^{2}\leq 1)$

Пример случайного безошибочного обобщения

$~\vdash \ 0^{2}\geq 0\quad \land \quad \vdash \ 1^{2}\geq 1\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathbb {N} \ \to \ y^{2}\geq y)$

Правильно так:

$~0^{2}\geq 0\quad \land \quad 1^{2}\geq 1\quad \Leftrightarrow \quad \forall y\ (y\in \{0,\ 1\}\ \to \ y^{2}\geq y)$

Дополнение

Очень часто в Английском языке вместо any используется артикль a (an), а вместо each используется артикль the.

Примеры

It is known that a penguin doesn't fly. $~\Rrightarrow$ It is known that the penguin doesn't fly.

$~\vdash \ x\in \mathrm {the_{penguins}} \ \to \ x\ \mathrm {doesn't\ fly} .\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathrm {the_{penguins}} \ \to \ y\ \mathrm {doesn't\ fly} .)$

It is known that a fish swims. $~\Rrightarrow$ It is known that the fish swims.

$~\vdash \ x\in \mathrm {the_{fishes}} \ \to \ x\ \mathrm {swims} .\quad \Rrightarrow \quad \vdash \ \forall y\ (y\in \mathrm {the_{fishes}} \ \to \ x\ \mathrm {swims} .)$

Галактион 20:33, 7 серпня 2009 (UTC)