Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси $\mu$ в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:

$\left\{\Delta ^{2}+{\frac {2\mu }{\hbar \;^{2}}}[E-U({\vec {r}})]\right\}\psi =0$ .

Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і $\nabla \psi$ на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні $\sigma$ зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

$\psi$ та $\nabla \psi$ неперервні на $\sigma$

Одновимірна прямокутна яма ред.

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

$U(x)={\begin{cases}0,&-a/2\leq \;x\leq \;a/2,\\U_{0},&x<-a/2,x>a/2\end{cases}}$

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

$\left\{{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {2\mu }{\hbar \;^{2}}}[\epsilon -U(x)]\right\}\psi (x)=0$ .

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії $x\to \;-x$ , і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень $x$ , тобто в області $0\leq \;x<\infty$ . Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці $x=0$ ; для станів позитивної парності при $x=0$ повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія $\epsilon \geq \;0$ . Розглянемо значення енергії $\epsilon <U_{0}$ . Нехай далі:

$k^{2}={\frac {2\mu \epsilon }{\hbar \;^{2}}},\gamma ^{2}={\frac {2\mu }{\hbar \;^{2}}}(U_{0}-\epsilon ).$

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

$\left({\frac {a}{b}}+k^{2}\right)\psi _{I},0\leq \;x\leq \;a/2;$

$\left({\frac {a}{b}}-\gamma ^{2}\right)\psi _{I},;x\geq \;a/2;$

Скінченні розв'язки $\psi _{II}$ при $x\to \;\infty$ можна записати у вигляді

$\psi _{II}=Ae^{-\gamma x}$ .

А розв'язки $\psi _{I}$ , які відповідають станам позитивної парності, будуть:

$\psi _{I}^{(+)}=B\cos kx$ .

Для станів негативної парності маємо:

$\psi _{I}^{(-)}=C\sin kx$

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності $\psi$ та ${\frac {d\psi }{dx}}$ в точці $x=a/2$ випливає два однорідних рівняння для визначення $A$ та $B$ :

$B\cos(ka/2)=Ae^{-\gamma a/2},$

$B\sin(ka/2)={\frac {\gamma }{k}}Ae^{-\gamma a/2}.$

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

$k\tan(ka/2)=\gamma ={\sqrt {{\frac {2\mu U_{0}}{\hbar \;^{2}}}-k^{2}}}$ .

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом $\pi$ , то це рівняння можна перетворити до вигляду:

$ka=n\pi -2\arcsin \left({\frac {\hbar \;k}{\sqrt {2\mu U_{0}}}}\right)$

де $n=1,3,\dots ;$ значення арксинуса необхідно брати в інтервалі $0,\pi /2$ . Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа $k$ . Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення $k$ можуть лежати тільки в інтервалі $0\leq \;k\leq \;{\frac {\sqrt {2\mu U_{0}}}{\hbar \;}}$ . Значення $k_{n}$ , що задовольняють це рівняння при $n=1,3,\dots ;$ відповідають точкам перетину прямої $ka$ та монотонно спадаючих кривих

$\zeta _{n}(k)=n\pi -2\arcsin \left({\frac {\hbar \;k}{\sqrt {2\mu U_{0}}}}\right).$ .

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень $U_{0}$ ( $U_{0}\gg \;\epsilon$ ). У цьому разі

$\arcsin \left({\frac {\hbar \;k}{\sqrt {2\mu U_{0}}}}\right)\approx \;0$

та ${\frac {\pi }{a}}n,$ де $n=1,3,\dots ;$ При цьому енергія частки

$\epsilon _{n}^{(+)}={\frac {\pi ^{2}\hbar \;^{2}}{2\mu a^{2}}}n^{2}$ , $n$ непарне.

Хвильові функції $\psi _{II}=0$ . А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

$\int _{-a/2}^{a/2}|\psi _{I}|^{2}\,dx=1,$

мають вигляд

$\psi _{I}^{(+)}={\sqrt {\frac {2}{a}}}\cos \left({\frac {\pi n}{a}}x\right)$ , $n$ непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності $\psi$ та ${\frac {d\psi }{dx}}$ у точках $x=a/2$ приводять до системи рівнянь:

$C\sin ka/2=Ae^{-\gamma a/2},$

$C\cos ka/2=-{\frac {\gamma }{k}}Ae^{-\gamma a/2},$

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

$k\cot ka/2=-\gamma .$

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При $n=2,4,6,\dots$ воно визначає значення $k_{n}$ , які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

$\epsilon _{n}={\frac {\hbar \;^{2}k_{n}^{2}}{2\mu a^{2}}}$ , де $k_{n}$ визначаються точками перетину прямої $ka$ та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення $n=1,3,\dots ;$ відповідають станам позитивної парності, а значення $n=2,4,6,\dots$ відповідають станам негативної парності.

Двовимірна прямокутна яма ред.

Тривимірна прямокутна яма ред.

Література ред.

Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.

Посилання ред.

Scienceworld [Архівовано 7 Квітня 2006 у Wayback Machine.] (Infinite Potential Well)
Scienceworld [Архівовано 2 Липня 2017 у Wayback Machine.] (Finite Potential Well)
1-D quantum mechanics java applet [Архівовано 2 Червня 2008 у Wayback Machine.] simulates particle in a box, as well as other 1-dimensional cases.
2-D particle in a box applet [Архівовано 9 Травня 2008 у Wayback Machine.]