Квантовий ефект Шотткі

Квантовий ефект Шоткі ред.

Класичний ефект Шотткі може мати місце на поверхні розділу $Si-SiO_{2}$ , де мобільний заряд в діелектриці ( $SiO_{2}$ ) рівний:

$Q_{ss}^{*}=qN_{ss}^{*}$ ,

котрий враховує "металічну" частину (не має значення конкретний фізичний механізм її утворення) та дозволяє виконання механізму відображення для зарядів відносно $Si-SiO_{2}$ площини симетрії.

Електрон, котрий знаходиться у "вакуумі" (у цьому випадку це напівпровідник) на деякій відстані $x$ від поверхні "металу", індукує на його поверхні позитивний заряд. Сила притягання між електроном та цим індукованим поверхневим зарядом рівна по величині силі притягання до ефективного позитивного заряду $+q$ , котрий називають зарядом зображення. Ця сила, котра також називається силою зображення, рівна:

$F={\frac {-q^{2}}{4\pi (2x)^{2}\epsilon _{0}\epsilon _{s}}}={\frac {-q^{2}}{16\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}x^{2}}},$

де $\epsilon _{0}$ - діелектрична проникність вакууму, $\epsilon _{s}$ - відносна проникність поверхні напівпровідника. Робота, яку необхідно зробити щоб перемістити електрон із нескінченності в точку $x$ , рівна:

$A(x)=\int _{\infty }^{x}F\,dx={\frac {q^{2}}{16\pi \epsilon _{0}x}},$

Якщо до системи прикладено зовнішнє електричне поле $E$ , то потенційна енергія електрону $W_{P}$ буде рівна сумі:

$W_{P}(x)={\frac {q^{2}}{16\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}x}}+qEx$ еВ.

Зниження бар'єра Шотткі $\Delta \phi$ та віддалі $x_{m}$ , на якій величина потенціалу досягає максимуму, визначається із умови ${\frac {d[W_{P}(x)]}{dx}}=0$ . Звідки знаходимо:

$x_{m}={\sqrt {\frac {q}{16\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}E}}}$ см,

$\Delta \phi ={\sqrt {\frac {qE}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{s}}}}=2Ex_{m}$ В.

В загальному випадку квантовий ефект Шоткі пов'язаний з проблемою атому Бора, дискретна енергія якого може бути записана у вигляді:

$W_{B0}={\frac {\hbar \;^{2}}{2m(na_{B})^{2}}},n=1,2,...$

де $a_{B}$ - Борівський радіус, та з проблемою Ейрі (трикутної потенційної ями), що має енергетичні рівні:

$U_{An}=\eta _{n}{\big (}{\frac {q\hbar \;E_{n}}{\sqrt {2m}}}{\big )}^{2/3}$

де $\eta _{n}$ - корені функції Ейрі. Оскільки атомна проблема належить до класу 3Д- проблем (тривимірних), а проблема Ейрі є типова одномірна (1Д-), то їх сумісний розв'язок важко отримати в аналітичній формі. Тому тут можна скористатися квазікласичним наближенням першого порядку щоб розв'язати проблему руху зарядів в 1Д- розмірності біля поверхні розділу $Si-SiO_{2}$ . Як відомо, квантовий рух вільної частки може бути поданий у вигляді плоскої хвилі:

$\psi (x)\sim \;exp(ikx),$

де $k$ - хвильовий вектор, а кінетична енергія:

$W={\frac {(\hbar \;k)^{2}}{2m}}$ .

У випадку наявності центрів розсіювання хвильовий вектор задовольняє умові:

$k(2x)=1$ , і тому одночастинна кінетична енергія може бути переписана у вигляді:

$W_{II}={\frac {\hbar \;^{2}}{8mx^{2}}}.$

Розглянемо випадок наявності однієї частки для якої повну енергію можна записати у вигляді:

$W_{II\Sigma }(X)=W_{II}+U_{II}={\frac {\hbar \;^{2}}{8mx^{2}}}+qxE.$

Диференціюючи останнє рівняння по $x$ , можна отримати екстремальне значення координати:

$x_{IIm}={\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{4mqE}}{\big )}^{1/3}$

та для бар'єру Шоткі:

$\Delta \phi ={\frac {W_{II\Sigma }(X)}{q}}={\frac {3}{2q}}({\frac {q\hbar \;E}{2{\sqrt {m}}}})^{2/3}$

Електричне поле $E$ в останньому рівнянні має тільки дискретні значення у квантовому випадку, котрі можна знайти наступним чином. Очевидно, що в задачі Бора використовується взаємодія двох часток. Тому для двох часток в нашому випадку кінетичну енергію необхідно зменшити в 2 рази. Тоді повна енергія може бути переписана у вигляді:

$W_{2I\Sigma }(X)=W_{2I}+U_{2I}={\frac {\hbar \;^{2}}{16mx^{2}}}+qxE.$ .