Гіпотеза Ферма — Каталана

Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння

має не більше ніж скінченне число розв'язків з різними трійками значень , де  — взаємно прості натуральні числа, а  — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню

Відомі розв'язки ред.

На 2014-й рік відомо всього 10 розв'язків цього рівняння:[1]

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Розв'язок   — це єдиний розв'язок, у якому одне з   дорівнює 1. У цьому полягає гіпотеза Каталана, доведена у 2006 році Михайлеску[en].

Всі розв'язки знайдено для трійок показників   рівних  .

Часткові результати ред.

За теоремою Фальтингса для будь-яких фіксованих натуральних  , які задовольняють нерівності  , існує не більше ніж скінченне число трійок  , що задовольняють рівнянню  ,[2][3]:p. 64 але гіпотеза Ферма — Каталана строгіша, оскільки стверджує скінченність числа розв'язків для нескінченної множини трійок  .

abc-гіпотеза тягне гіпотезу Ферма — Каталана[1].

Гіпотеза Біла полягає в тому, що всі розв'язки рівняння Ферма — Каталана мають один з показників рівний 2.

Примітки ред.

  1. а б Pomerance, Carl (2008). Computational Number Theory. У Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (ред.). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. с. 361–362. ISBN 978-0-691-11880-2. .
  2. Darmon, H.; Granville, A. (1995). On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. Bulletin of the London Mathematical Society. 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513. 
  3. Elkies, Noam D. (2007). The ABC's of Number Theory. The Harvard College Mathematics Review. 1 (1). Архів оригіналу за 10 березня 2016. Процитовано 12 січня 2021. 

Посилання ред.

Література ред.