Вузловий аналіз (електротехніка)

Вузловий аналіз — у електротехніці є методом визначення напруги (різниці потенціалів) між «вузлами» (це точки, де елементи кола з'єднуються між собою) електричного ланцюга.

Закон Кірхгофа є основою вузлового аналізу.

При аналізі схеми за допомогою правил Кірхгофа можна або провести вузловий аналіз з використанням закону Кірхгофа, або сітковий аналіз з використанням закону напруги Кірхгофа.

Вузловий аналіз надає компактну множину рівнянь для мережі, які можуть бути розв'язані вручну або за допомогою комп'ютера. Багато програм схематичного моделювання (напр. SPICE) беруть за основу вузловий аналіз саме через компактний набір рівнянь.

Також існує модифікований вузловий аналіз.

Метод

1. Перевірте всі під'єднані до схеми ланки проводів. Це будуть вузли вузлового аналізу.
2. Виберіть один вузол як точку заземлення. Вибір не впливає на підсумок і є лише питанням конвенції. Вибір вузла з більшістю з'єднань, може спростити аналіз. Для схеми N вузлів число вузлових рівнянь є N-1.
3. Введіть змінну для кожного вузла, де напруга є невідомою. Якщо напруга вже відома, не потрібно вводити змінну.
   
4. Для кожної невідомої напруги, утворюють рівняння на основі закону Кірхгофа. Потрібно скласти всі значення струму, що виходять з вузла та прирівняти їх до нуля. Значення струму між двома вузлами не може бути більше, ніж «вузол з більш високим потенціалом мінус вузол з більш низьким потенціалом, поділений на опір між двома вузлами».
5. За наявності джерела напруги між двома невідомими потрібно з'єднати два вузли у «супервузол». Струми двох вузлів об'єднаються в одне рівняння, і сформується нове рівняння для напруги.
6. Розв'язати систему рівнянь для кожного невідомого значення напруги.

Приклади

Простий випадок

Основний приклад електричного кола з одною невідомою напругою, V1.

Невідомим на цій схемі є значення напруги V₁. Є три підключення до цього вузла і, отже, три течії, які слід враховувати. Напрямок струмів в розрахунках вибирається так, щоб знаходився далеко від вузла.

1. Струм через резистор R₁: (V₁ — V_S) / R₁
2. Струм через резистор R₂: V₁ / R₂
3. Струм через джерело струму I_S: -I_S

Згідно закону Кірхгофа отримаємо:

${\frac {V_{1}-V_{S}}{R_{1}}}+{\frac {V_{1}}{R_{2}}}-I_{S}=0$

Виразимо V₁:

$V_{1}={\frac {\left({\frac {V_{S}}{R1}}+I_{S}\right)}{\left({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}\right)}}$

Таким чином, невідоме значення напруги може бути знайденим підставляючи чисельні значення символів. Будь-які невідомі струми легко обчислити після того, як всі напруги в електричному колі відомі.

$V_{1}={\frac {\left({\frac {5{\text{ V}}}{100\,\Omega }}+20{\text{ mA}}\right)}{\left({\frac {1}{100\,\Omega }}+{\frac {1}{200\,\Omega }}\right)}}\approx 4.667{\text{ V}}$

Супервузли

У цій схемі Vа, знаходиться між двома невідомими напругами і тому є супервузлом.

Струм, що проходить через джерело напруги V_A не може бути безпосередньо розрахований. Тому ми не можемо записати поточні рівняння V₁ або V₂. Тим не менш, ми знаємо, що той же струм, залишаючи вузол V₂, повинен увійти у вузол V₁. Попри те, що вузли не можуть бути індивідуально розв'язані, ми знаємо, що комбінований струм цих двох вузлів, дорівнює нулю. Це об'єднання двох вузлів, називається методом супервузлів, і вимагає одного додаткового рівняння: V₁ = V₂ + V_A.

Повна множина рівнянь має такий вигляд:

${\begin{cases}{\frac {V_{1}-V_{\text{B}}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{\text{B}}}{R_{2}}}+{\frac {V_{2}}{R_{3}}}=0\\V_{1}=V_{2}+V_{\text{A}}\\\end{cases}}$

Підставивши V₁ в перше рівняння і виразивши V_2, отримали:

$V_{2}={\frac {(R_{1}+R_{2})R_{3}V_{\text{B}}-R_{2}R_{3}V_{\text{A}}}{(R_{1}+R_{2})R_{3}+R_{1}R_{2}}}$

Див. також

• Закон збереження електричного заряду
• Правила Кірхгофа
• Контурний аналіз
• Теорія електричних кіл
• Вузловий аналіз (нафтогазовидобування)
• Метод еквівалентного генератора

Література

• P. Dimo Nodal Analysis of Power Systems Abacus Press Kent 1975

Посилання

• Branch current method [Архівовано 8 травня 2015 у Wayback Machine.]
• Online four-node problem solver [Архівовано 3 травня 2017 у Wayback Machine.]
• Simple Nodal Analysis Example
• ІМІТАЦІЙНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ [Архівовано 16 травня 2017 у Wayback Machine.] Жерновий Ю. В. ЛНУ ім. Івана Франка [Архівовано 17 грудня 2010 у Wayback Machine.]
• Збірник задач з теоретичної механіки
• ЛНУ ім. Івана Франка [Архівовано 17 грудня 2010 у Wayback Machine.]