Вкладені радикали

В алгебрі вкладеним радикалом називають радикал, що міститься в іншому радикалі. Наприклад

${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},$

або складніший приклад

${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.$

Значення всіх вкладених радикалів називають виразни́ми в радикалах.

Спрощення вкладених радикалів

Деякі вкладені радикали можна спростити. Наприклад:

${\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,$

${\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.$

У загальному випадку спрощення є складною проблемою, якщо воно взагалі можливе. Коли $R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ раціональне, зробити спрощення дозволяє така формула:

${\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.$

Наприклад,

${\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).$

Зокрема, для комплексних чисел ($c=-1$):

${\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|z\right|+a}{2}}}+i\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\left|z\right|-a}{2}}}\right),$ де $\left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Нескінченно вкладені радикали

Загальні положення

У деяких випадках нескінченно вкладені радикали можуть бути тотожними деякому раціональному числу, наприклад вираз

$x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}$

дорівнює 2. Для того щоб це побачити, піднеседемо обидві частини виразу до квадрата і віднімемо 2:

$x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x$;

$x^{2}-x-2=0$;

$x_{1}=2,x_{2}=-1$.

Очевидно, що $-1$ не може бути значенням вихідного радикала.

Тривіальні випадки

• Для квадратного кореня:

  ${\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}$;

• Для кореня степеня $n$

  ${\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,$

  де $x$ є розв'язком рівняння $x^{n}-bx-a=0$.

Нетривіальні випадки

• Формула Рамануджана:

  $x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}$

Окремі випадки

• Золотий перетин:

  $\phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}$

• Пластичне число:

  $\rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}$

• Число пі:

  ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Вкладені радикали(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Квадратний корінь(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
• Simplifying Square Roots of Square Roots [Архівовано 15 січня 2022 у Wayback Machine.] (англ.)