Аліасинг

Аліасинг (англ. aliasing — накладення спектрів)  — ефект, що призводить до накладання, або нечіткості різних безперервних сигналів при їхній дискретизації.

Є однією з головних проблем при аналогово-цифровому перетворенні відео- і аудіосигналів. Неправильна дискретизація аналогового сигналу призводить до того, що високочастотні його складові накладаються на низькочастотні, в результаті чого відновлення сигналу в часі приводить до його спотворень. Для запобігання цього ефекту частота дискретизації повинна бути достатньо високою і сигнал повинен бути належним чином відфільтрований перед оцифровуванням.

Аліасинг  в комп'ютерній графіці — ефект «ступінчастості» зображення, проти якого використовуються різні алгоритми згладжування.

Два різних синусоїдальних сигнали, що не відрізняються при оцифровці: високочастотний з частотою $f>f_{s}/2\,$ (червоний) на низькочастотний $f_{s}-f\,$ (синій).

Дискретизація синусоїдних сигналів

Синусоїди — це важливий тип періодичних функцій, тому що реальні сигнали часто моделюють за допомогою сум синусоїд різних частот і різних амплітуд. Розуміння того, що аліасинг робить із окремими синусоїдами важливе для розуміння того, що відбувається з їх сумою.

Дві різні синусоїди, що відповідають тій самій множині значень.

Рисунок показує набір значень інтервал дискретизації яких — 1, і дві (з багатьох) різних синусоїд, що можуть мати такі значення. Тут частота дискретизації $f_{s}=1\,$. Наприклад, якщо інтервал це 1 секунда, частота становить 1 значення за секунду. Дев'ять циклів червоної і 1 цикл синьої синусоїди покривають проміжок у десять значень. Відповідне число циклів на значення є $f_{\mathrm {red} }=0.9\,$  і $f_{\mathrm {blue} }=0.1\,$.  Якщо ці значення були отримані дискретизуючі функції $\scriptstyle \cos \left(2\pi (0.9)x-\theta \right)$ і $\scriptstyle \cos \left(2\pi (0.1)x-\phi \right)$, то їх можна було отримати з тригонометрично тотожних функції $\scriptstyle \cos \left(2\pi (-0.9)x+\theta \right)$ і $\scriptstyle \cos \left(2\pi (-0.1)x+\phi \right),$ — це впроваджує корисне поняття від'ємної частоти.

Загалом, коли синусоїда частоти $f\,$ дискретизується з частотою $f_{s},\,$ результовна кількість циклів на значення становить $f/f_{s}$ (відома як нормалізована частота), і вибрані значення невідрізненні від значень вибраних з іншої синусоїди (аліаса) чия нормалізована частота відрізняється від $f/f_{s}$ на ціле (додатне або від'ємне).  Замінюючи синусоїди від'ємних частот на тотожні ним представлення з додатними частотами, ми можемо виразити всі аліаси частоти $f$ як  $f_{\mathrm {alias} }(N)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ |f-Nf_{s}|,\,$  для будь-якого цілого $N$ зі справжньою частотою  $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(0)=f\,$, і $N$ має одиниці циклів на значення. Тоді аліас з $N=1$ для $\scriptstyle f_{\mathrm {red} }\,$  це  $\scriptstyle f_{\mathrm {blue} },\,$  (і навпаки).

Аліасінг має значення коли хтось намагається відновити початкову хвилю з її дискретизації. Найпоширеніші техніки для відновлення видають найменшу з частот $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(N)\,$. Отже, зазвичай важливо, щоб $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(0)\,$ була унікальним мінімумом. Необхідна і достатня умова для цього це $\scriptstyle f_{s}/2\ >\ |f|,\,$ де $\scriptstyle f_{s}/2\,$ це частота Найквіста системи, яку дискретизують з частотою $\scriptstyle f_{s}.\,$  У нашому прикладі умова Найквіста виконана, якщо початковий сигнал це синя синусуїда ($\scriptstyle f=f_{\mathrm {blue} }$).  Але, якщо $\scriptstyle f=f_{\mathrm {red} }=0.9,$  звичайний метод відновлення видасть синю синусоїду замість червоної.

Згинання

У цьому прикладі, $\scriptstyle f_{\mathrm {red} }\,$  і $\scriptstyle f_{\mathrm {blue} }\,$ симетрично розташовані навколо частоти $\scriptstyle f_{s}/2.$  І загалом, із збільшенням $\scriptstyle f$ від 0 до $\scriptstyle f_{s}/2,$  $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)$ зменшується з $\scriptstyle f_{s}$  до $\scriptstyle f_{s}/2.$  Подібним чином зі збільшенням $\scriptstyle f$ від $\scriptstyle f_{s}/2$  до $\scriptstyle f_{s},$  $\scriptstyle f_{\mathrm {alias} }(1)$ продовжує зменшуватись від $\scriptstyle f_{s}/2$ до 0.

Чорні точки — аліаси один одному. Жирна червона лінія — це приклад амплітуди, що змінюється з частотою. Пунктирні червоні лінії — це відповідні шляхи аліасів.

Див. також

• Згладжування (графіка)
• Частота дискретизації
• Оцифровування
• Інтерполяційна формула Віттекера — Шеннона

Джерела

• Craig Marven, Gillian Ewers A simple approach to digital signal processing — Wiley, 1996—236 стор. (англ.)